a)

Szkicujemy rysunek ilustrujący podany przekrój:

Zauważmy, że:

$\left|AC\right|=6\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$

zatem:

$P_{AC{A}_1{C}_1}=\left|AC\right|\cdot \left|A{A}_1\right|=6\sqrt{2}\cdot 6=36\sqrt{2}\left[{\text{cm}}^2\right]$

Płaszczyzna tworzy z podstawą sześcianu kąt 90º.

---

b)

Szkicujemy rysunek ilustrujący podany przekrój:

Zauważmy, że:

$\left|AC\right|=6\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$

zatem:

$P_{AC{D}_1}=\frac{{\left(6\sqrt{2}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{36\cdot 2\sqrt{3}}{4}=18\sqrt{2}\left[{\text{cm}}^2\right]$

Wiemy, że:

$\text{tg}\alpha =\frac{6}{\frac{6\sqrt{2}}{2}}=\frac{6}{3\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\approx 1,4142$  

z tablic wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że:

$\alpha \approx {55}^{\circ }$  

Wnioskujemy, że płaszczyzna tworzy z podstawą sześcianu kąt 55º.

---

c)

Szkicujemy rysunek ilustrujący podany przekrój:

Zauważmy, że:

$\left|AC\right|=6\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$

więc:

$\left|AF\right|=\frac{1}{2}\left|AC\right|=3\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADE dostajemy:

${\left|EA\right|}^2=6^2+3^2$

${\left|EA\right|}^2=36+9$

${\left|EA\right|}^2=45\mid \sqrt{},\left|EA\right|>0$

$\left|EA\right|=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\left[\text{cm}\right]$      

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AFE otrzymujemy:

${\left(3\sqrt{2}\right)}^2+{\left|EF\right|}^2={\left(3\sqrt{5}\right)}^2$  

$18+{\left|EF\right|}^2=45$

${\left|EF\right|}^2=27\mid \sqrt{},\left|EF\right|>0$

$\left|EF\right|=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$    

Przekrojem sześcianu jest trójkąt równoramienny, zatem:

$P_{ACE}=\frac{1}{2}\cdot \left|AC\right|\cdot \left|EF\right|=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{3}=$

$=9\sqrt{6}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

Wiemy, że:

$\text{tg}\alpha =\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,7071$  

z tablic wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że:

$\alpha \approx {35}^{\circ }$  

Wnioskujemy, że płaszczyzna tworzy z podstawą sześcianu kąt 35º.