W rozwiązaniu zadania korzystamy z rysunku przedstawionego w treści zadania.

---

Niech h będzie wysokością ściany bocznej ostrosłupa.

Z treści zadania wiemy, że: 

$P_c=4P_p$

zatem możemy zapisać, że: 

$P_p+P_b=4P_p$

$P_b=3P_p$

$4\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot h=3\cdot 6^2$

$12h=3\cdot 36\mid :12$

$h=9$      

---

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć długość odcinka AS:

$3^2+h^2={\left|AS\right|}^2$  

$9+9^2={\left|AS\right|}^2$

$9+81={\left|AS\right|}^2$

$90={\left|AS\right|}^2$    

$\left|AS\right|=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$

---

Wiemy, że:

$\left|AC\right|=6\sqrt{2}$

więc:

$\left|AO\right|=\frac{\left|AC\right|}{2}=3\sqrt{2}$

---

Obliczamy cosinus kąta 𝛼:   

$\cos \alpha =\frac{\left|AO\right|}{\left|AS\right|}=\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}\cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{20}}{10}=\frac{2\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}}{5}$