Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Z treści zadania wiemy, że: 

$P_b=\frac{15\sqrt{3}}{4}$

zatem: 

$P_b=3\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{5\sqrt{3}}{4}$

czyli:

$3\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{5\sqrt{3}}{4}=\frac{15\sqrt{3}}{4}\mid \cdot 8$    

$15a\sqrt{3}=30\sqrt{3}\mid :15\sqrt{5}$  

$a=2$  

---

Obliczamy wysokość graniastosłupa korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

${\left(\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)}^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2+H^2$

$\frac{25\cdot 3}{16}=\frac{3}{9}+H^2\mid -\frac{3}{9}$

$\frac{75}{16}-\frac{3}{9}=H^2$

$\frac{675}{144}-\frac{48}{144}=H^2$

$H^2=\frac{627}{144}\mid \sqrt{},H>0$

$H=\frac{\sqrt{627}}{12}$

---

Obliczamy objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{4\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{627}}{12}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{627}}{36}=$

$=\frac{\sqrt{1881}}{36}=\frac{3\sqrt{209}}{36}=\frac{\sqrt{209}}{12}$