Z treści zadania wiemy, że przekątna ściany bocznej w graniastosłupie n-kątnym
tworzy z krawędzią podstawy kąt 𝛼.

---

---

a)

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego długość krawędzi wynosi 6 cm.

Wiemy również, że cos𝛼=²/₅.

---

Naszkicujmy ścianę boczą tego graniastosłupa: 

Wiemy, że:

$\cos \alpha =\frac{6}{d}$

zatem:

$\frac{6}{d}=\frac{2}{5}$

$2d=30$

$d=15$

---

Obliczamy długość odcinka b korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego:

$6^2+b^2=d^2$

$36+b^2={15}^2$

$b^2=225-36$

$b^2=189\mid \sqrt{},b>0$

$b=\sqrt{189}=3\sqrt{21}$

---

Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

$P_c=2\cdot P_p+P_b=2\cdot 6^2+4\cdot 6\cdot 3\sqrt{21}=$

$=2\cdot 36+24\cdot 3\sqrt{21}=\left(72+72\sqrt{21}\right)\left[{\text{cm}}^2\right]$            

---

---

b)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny, którego długość krawędzi wynosi 4 cm.

Wiemy również, że sin𝛼=¹/₃.

---

Naszkicujmy ścianę boczą tego graniastosłupa:

Wiemy, że:

$\sin \alpha =\frac{b}{d}$

zatem:

$\frac{b}{d}=\frac{1}{3}$

$d=3b$

---

Obliczamy długość odcinka b korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego:

$4^2+b^2=d^2$

$16+b^2={\left(3b\right)}^2$

$16=9b^2-b^2$

$8b^2=16$

$b^2=2\mid \sqrt{},b>0$  

$b=\sqrt{2}$

---

Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

$P_c=2\cdot P_p+P_b=2\cdot \frac{4^2\cdot \sqrt{3}}{4}+3\cdot 4\cdot \sqrt{2}=$

$=\frac{16\sqrt{3}}{2}+12\sqrt{2}=\left(8\sqrt{3}+12\sqrt{2}\right)\left[{\text{cm}}^2\right]$