Rysunek pomocniczy: 

---

Z treści zadania wiemy, że stosunek obwodu podstawy ABCD do sumy długości wszystkich krawędzi jest równy 1:5, więc zapiszemy:

$\frac{4a}{4a+4b}=\frac{1}{5}$  

$\frac{a}{a+b}=\frac{1}{5}$  

$a+b=5a$  

$\underline{b=4a}$  

---

Rozważmy trójkąt OBE. Skoro punkt S jest środkiem przeciwprostokątnej BE, to punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie OBE, więc |ES|=|SB|=|OS|=2a.

Rysunek:

Obliczmy stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa. Mamy:

$\frac{P_{ACS}}{P_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \left|AC\right|\cdot \left|OS\right|}{a^2}=\frac{\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot 2a}{a^2}=\frac{a^2\sqrt{2}}{a^2}=\sqrt{2}$  

---

Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta BSO:

${\left|OB\right|}^2={\left|SO\right|}^2+{\left|BS\right|}^2-2\cdot \left|SO\right|\cdot \left|BS\right|\cdot \cos \alpha$  

${\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2={\left(2a\right)}^2+{\left(2a\right)}^2-2\cdot 2a\cdot 2a\cdot \cos \alpha$

$\frac{1}{2}{a}^2=4a^2+4a^2-8a^2\cos \alpha$

$-\frac{15}{2}{a}^2=-8a^2\cos \alpha \mid :\left(-8a^2\right)$

$\cos \alpha =\frac{15}{16}$

$\cos \alpha =0,9375$  

Korzystając z tabeli przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych mamy:

$\alpha \approx {20}^{\circ }$   

---

Odp: Stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa wynosi √2, a miara
         kąta BSO wynosi w przybliżeniu 20^o.