Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej: 

---

Wiemy, że:

$\left|AC\right|=a\sqrt{2}$

---

Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ACG dostajemy:

${\left(a\sqrt{2}\right)}^2=d^2+d^2-2\cdot d\cdot d\cdot \cos \alpha$  

$2a^2=2d^2-2d^2\cos \alpha \mid :2$

$a^2=d^2-d^2\cos \alpha$  

$a^2=d^2\left(1\cos \alpha \right)$

$d^2=\frac{a^2}{1-\cos \alpha }$

---

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AGE dostajemy:

$H^2+a^2=d^2$

$H^2+a^2=\frac{a^2}{1-\cos \alpha }$

$H^2=\frac{a^2}{1-\cos \alpha }-a^2$

$H^2=\frac{a^2}{1-\cos \alpha }-\frac{a^2\left(1-\cos \alpha \right)}{1-\cos \alpha }$

$H^2=\frac{a^2\left(1-\left(1-\cos \alpha \right)\right)}{1-\cos \alpha }$  

$H^2=\frac{a^2\cos \alpha }{1-\cos \alpha }\mid \sqrt{},H>0$

$H=\frac{a\sqrt{\cos \alpha }}{\sqrt{1-\cos \alpha }}$     

---

Obliczamy objętość graniastosłupa:

$V=P_p\cdot H=a^2\cdot \frac{a\sqrt{\cos \alpha }}{\sqrt{1-\cos \alpha }}=a^3\sqrt{\frac{\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}$