Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej: 

---

Korzystając z funkcji trygonometrycznej sinus dla trójkąta prostokątnego BKE dostajemy:

$\frac{\left|BK\right|}{\left|BE\right|}=\sin \alpha$  

zatem:

$\frac{\frac{a}{2}}{\left|BE\right|}=\sin \alpha$

$\left|BE\right|=\frac{a}{2\sin \alpha }$

---

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego ABE mamy:

${\left|AE\right|}^2={\left|AB\right|}^2-{\left|BE\right|}^2$  

$\left|AE\right|=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4{\sin }^2\alpha }}$

$\left|AE\right|=a\sqrt{\frac{4{\sin }^2\alpha -1}{4{\sin }^2\alpha }}$

$\left|AE\right|=\frac{a\sqrt{4{\sin }^2\alpha -1}}{2\sin \alpha }$

---

Zauważamy, że trójkąty BKD i AEB są podobne, więc:

$\frac{\left|BK\right|}{\left|KD\right|}=\frac{\left|AE\right|}{\left|EB\right|}$

zatem:

$\frac{\frac{a}{2}}{\left|KD\right|}=\frac{\frac{a\sqrt{4{\sin }^2\alpha -1}}{2\sin \alpha }}{\frac{a}{2\sin \alpha }}$

$\frac{a}{2\left|KD\right|}=\sqrt{4{\sin }^2\alpha -1}$

$\left|KD\right|=\frac{a}{2\sqrt{4{\sin }^2\alpha -1}}$        

---

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego KLD i dostajemy:

$H^2={\left|KD\right|}^2-{\left|KL\right|}^2$

$H=\sqrt{{\left|KD\right|}^2-{\left|KL\right|}^2}$

$H=\sqrt{\frac{a^2}{4\left(4{\sin }^2\alpha -1\right)}-\frac{a^2}{12}}$

$H=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{1}{4{\sin }^2\alpha -1}-\frac{1}{3}}$

$H=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{3-\left(4{\sin }^2\alpha -1\right)}{3\left(4{\sin }^2\alpha -1\right)}}$

$H=\frac{a}{2\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4\left(1-{\sin }^2\alpha \right)}{4{\sin }^2\alpha -1}}$

$H=\frac{a\cos \alpha }{\sqrt{3}\sqrt{4{\sin }^2\alpha -1}}$

---

Obliczamy objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\cos \alpha }{\sqrt{3}\sqrt{4{\sin }^2\alpha -1}}=$      

$=\frac{a^3\cos \alpha }{12\sqrt{4{\sin }^2\alpha -1}}$