Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej: 

---

Wiemy, że:

$\left|AD\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

---

Zauważamy, że trójkąt ADE jest podobny do trójkąta ADS na podstawie cechy kąt-kąt-kąt, zatem:

$\frac{d}{H}=\frac{\left|AD\right|}{\left|DS\right|}$

więc:

$\frac{d}{H}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\left|DS\right|}$

$d\cdot \left|DS\right|=H\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\mid :d$

$\left|DS\right|=\frac{H\cdot a\sqrt{3}}{2d}$

---

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADS dostajemy:

$H^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2={\left|DS\right|}^2$

$H^2+\frac{3a^2}{4}=\frac{H^2\cdot 3a^2}{4d^2}$

$\frac{4H^2+3a^2}{4}=\frac{H^2\cdot 3a^2}{4d^2}$

$12a^2{H}^2=16d^2{H}^2+12a^2{d}^2$

$H^2\left(12a^2-16d^2\right)=12a^2{d}^2$

$H^2=\frac{12a^2{d}^2}{12a^2-16d^2}$

$H^2=\frac{3a^2{d}^2}{3a^2-4d^2}\mid \sqrt{},H>0$

$H=\frac{\sqrt{3}\cdot ad}{\sqrt{3a^2-4d^2}}$

---

Obliczamy objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}\cdot ad}{\sqrt{3a^2-4d^2}}=$

$=\frac{a^{3}d}{4\sqrt{3a^2-4d^2}}$