Dany jest ostrosłup ABCDS, którego podstawą jest prostokąt ABCD.

Wiemy, że stosunek długości boków prostokąta, to 3:4, zatem możemy zapisać, że: 

$\left|AB\right|=3a,\left|BC\right|=4a$

Z treści zadania wiemy również, że:

$2\left|AB\right|+2\left|BC\right|=56$

czyli

$6a+8a=56$    

$14a=56$  

$a=4$

Wnioskujemy, że:

$\left|AB\right|=12,\left|BC\right|=16$

Możemy obliczyć pole podstawy ostrosłupa, a więc pole prostokąta ABCD:

$P_p=\left|AB\right|\cdot \left|BC\right|=12\cdot 16=192$

---

Wyznaczamy długość przekątnej postawy ostrosłupa korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

${\left|AC\right|}^2={\left|AB\right|}^2+{\left|BC\right|}^2$

${\left|AC\right|}^2={12}^2+{16}^2$

${\left|AC\right|}^2=144+256$

${\left|AC\right|}^2=400\mid \sqrt{},\left|AC\right|>0$

$\left|AC\right|=20$

zatem:

$\left|OC\right|=\frac{1}{2}\left|AC\right|=\frac{1}{2}\cdot 20=10$

---

Korzystając z funkcji trygonometrycznej tangens dla trójkąta prostokątnego OCS dostajemy:

$\text{tg}{60}^{\circ }=\frac{\left|OS\right|}{\left|OC\right|}$

$\sqrt{3}=\frac{\left|OS\right|}{10}$

$\left|OS\right|=10\sqrt{3}$

---

Obliczamy objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot \left|AB\right|\cdot \left|BC\right|\cdot \left|OS\right|=\frac{1}{3}\cdot 12\cdot 16\cdot 10\sqrt{3}=64\cdot 10\sqrt{3}=640\sqrt{3}$

---

Przyjmijmy oznaczenia:

h₁ - wysokość ściany bocznej ABS

h₂ - wysokość ściany bocznej ADS

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy:

${\left|OS\right|}^2+8^2=h_1^2$

${\left(10\sqrt{3}\right)}^2+64=h_1^2$

$h_1^2=300+64$

$h_1^2=364\mid \sqrt{},h_1>0$

$h_1^2=\sqrt{364}=2\sqrt{91}$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy:

${\left|OS\right|}^2+6^2=h_2^2$

${\left(10\sqrt{3}\right)}^2+36=h_2^2$

$h_2^2=300+36$

$h_2^2=336\mid \sqrt{},h_2>0$

$h_2^2=\sqrt{336}=4\sqrt{21}$

---

Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b=192+2\cdot \frac{1}{2}\cdot h_1\cdot \left|AB\right|+2\cdot \frac{1}{2}\cdot h_2\cdot \left|BC\right|=$

$=192+2\sqrt{91}\cdot 12+4\sqrt{21}\cdot 16=192+24\sqrt{91}+64\sqrt{21}$