Objętość dowolnego ostrosłupa wyraża się za pomocą wzoru: $V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H$ gdzie Pp jest polem podstawy ostrosłupa, a H - jego wysokością.

---

a)

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Z treści zadania wiemy, że:

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$

Korzystając z funkcji trygonometrycznej sinus dostajemy: 

$\sin \alpha =\frac{\frac{2}{3}\cdot \frac{4\sqrt{3}}{2}}{b}$

zatem:

$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\frac{2}{3}\cdot \frac{4\sqrt{3}}{2}}{b}$

$3\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4\sqrt{3}}{2}=b\sqrt{3}$

$\sqrt{3}b=4\sqrt{3}$

$b=4$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy:

${\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4\sqrt{3}}{2}\right)}^2+H^2=b^2$   

$\frac{4}{9}\cdot \frac{48}{4}+H^2=4^2$

$\frac{48}{9}+H^2=16$  

$H^2=16-\frac{48}{9}$

$H^2=\frac{144}{9}-\frac{48}{9}$

$H^2=\frac{96}{9}\mid \sqrt{},H>0$

$H=\frac{\sqrt{96}}{3}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$          

Obliczamy objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{4^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{4\sqrt{6}}{3}=$

$=\frac{16\sqrt{18}}{9}=\frac{16\cdot {\sout{3}}^1\sqrt{2}}{{\sout{9}}^3}=\frac{16\sqrt{2}}{3}$     

---

b)

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Z treści zadania wiemy, że:

$\cos \alpha =\frac{1}{3}$

Korzystając z funkcji trygonometrycznej cosinus dostajemy: 

$\cos \alpha =\frac{H}{b}$

zatem:

$\frac{1}{3}=\frac{H}{b}$  

$3H=b$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy:

${\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^2+H^2=b^2$

$\frac{50}{4}+H^2={\left(3H\right)}^2$

$\frac{50}{4}+H^2=9H^2$

$\frac{50}{4}=8H^2\mid \cdot \frac{1}{8}$

$H^2=\frac{50}{32}=\frac{25}{16}\mid \sqrt{},H>0$

$H=\frac{5}{4}$

Obliczamy objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 5^2\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 25\cdot \frac{5}{4}=\frac{125}{12}$