Objętość dowolnego graniastosłupa wyraża się za pomocą wzoru: $V=P_p\cdot H$ gdzie Pp jest polem podstawy graniastosłupa, a H - jego wysokością.

---

a)

Korzystamy z rysunku zamieszczonego w treści zadania.

Z treści zadania wiemy, że ściana CBB₁C₁ jest kwadratem o boku 3, zatem:

$\left|B{B}_1\right|=\left|BC\right|=3$

Korzystając z funkcji trygonometrycznej tangens wyznaczamy długość odcinka AC:

$\text{tg}{30}^{\circ }=\frac{\left|AC\right|}{\left|BC\right|}$

$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\left|AC\right|}{3}$

$\left|AC\right|=\sqrt{3}$     

Obliczamy objętość graniastosłupa:

$V=P_p\cdot \left|B{B}_1\right|=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \sqrt{3}\cdot 3=\frac{9\sqrt{3}}{2}$  

---

b)

Z treści zadania wiemy, że podstawa ABCD jest równoległobokiem o obwodzie 20 oraz:

$\frac{\left|BC\right|}{\left|CD\right|}=\frac{2}{3},\left|BC\right|=\left|C{C}_1\right|$

Przyjmijmy oznaczania jak na rysunku poniżej:

Wobec tego:

$2a+3a+2a+3a=20$

$10a=20$

$a=2$

Obliczamy objętość graniastosłupa:

$V=P_p\cdot \left|C{C}_1\right|=2a\cdot 3a\cdot \sin {30}^{\circ }\cdot 2a=12a^3\cdot \frac{1}{2}=6a^3=6\cdot 2^3=6\cdot 8=48$     

---

c)

Z treści zadania wiemy, że podstawa ABCDEF jest sześciokątem foremnym oraz:

$\left|A{D}_1\right|=10$

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

wiemy również, że:

$\cos \alpha =\frac{3}{5}$   

Korzystając z funkcji trygonometrycznej cosinus w trójkącie AD₁A₁ dostajemy:

$\cos \alpha =\frac{b}{10}$

zatem:

$\frac{b}{10}=\frac{3}{5}$

$5b=30$

$b=6$    

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego AD₁A₁ dostajemy:

${\left(2a\right)}^2+b^2={10}^2$

$4a^2+6^2=100$

$4a^2=100-36$

$4a^2=64\mid :4$

$a^2=16\mid \sqrt{},a>0$

$a=4$

Obliczamy objętość graniastosłupa:

$V=P_p\cdot b=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot b=6\cdot \frac{4^2\sqrt{3}}{4}\cdot 6=24\sqrt{3}\cdot 6=144\sqrt{3}$