Wszystkich liczb pięciocyfrowych jest 5! (na pierwszym miejscu możemy wybrać jedną z 5 cyfr, na drugim miejscu możemy wybrać jedną z 4 cyfr, itd.)   

$5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$  

Zapisując każdą z tych 120 liczb jedna pod drugą możemy zauważyć, że w kolumnie jedności występuje: 24 razy cyfra 1, 24 razy cyfra 3, 24 razy cyfra 5, 24 razy cyfra 7, 24 razy cyfra 9. Podobnie w kolumnie dziesiątek, setek, itd.

Suma cyfr z kolumny jedności:

$24\cdot 1+24\cdot 3+24\cdot 5+24\cdot 7+24\cdot 9=24\cdot \left(1+3+5+7+9\right)=24\cdot 25=600$  

Suma cyfr z kolumny dziesiątek:

$10\cdot 24\cdot \left(1+3+5+7+9\right)=10\cdot 24\cdot 25=6000$  

Suma cyfr z kolumny setek:

$100\cdot 24\cdot \left(1+3+5+7+9\right)=100\cdot 24\cdot 25=60000$  

Suma cyfr z kolumny tysięcy:

$1000\cdot 24\cdot \left(1+3+5+7+9\right)=1000\cdot 24\cdot 25=600000$  

Suma cyfr z kolumny dziesiątek tysięcy:

$10000\cdot 24\cdot \left(1+3+5+7+9\right)=10000\cdot 24\cdot 25=6000000$  

Zatem suma wszystkich takich liczb wynosi:

$600+6000+60000+600000+6000000=6666600$