Przypomnijmy wzór na prawdopodobieństwo warunkowe:

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$  

Zauważmy, że przy prawdopodobieństwie warunkowym nie musimy obliczać, ile jest wszystkich zdarzeń elementarnych (ilość elementów Omegi skraca się):

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{\overline{\overline{A\cap B}}}{\overline{\overline{\Omega }}}}{\frac{\overline{\overline{B}}}{\overline{\overline{\Omega }}}}=\frac{\overline{\overline{A\cap B}}}{\overline{\overline{\Omega }}}:\frac{\overline{\overline{B}}}{\overline{\overline{\Omega }}}=\frac{\overline{\overline{A\cap B}}}{\overline{\overline{\Omega }}}\cdot \frac{\overline{\overline{\Omega }}}{\overline{\overline{B}}}=\frac{\overline{\overline{A\cap B}}}{\overline{\overline{B}}}$

Wystarczy więc, że obliczymy, ile zdarzeń elementarnych sprzyja iloczynowi zdarzeń A i B oraz ile zdarzeń elementarnych sprzyja zdarzeniu B.

Zachodzi również wzór

$P\left(A\mid B\right)=1-P\left(A{}^{\prime }\mid B\right)$  

---

Prawdopodobieństwo P(A|B)

Rozważmy zdarzenia sprzyjające B. Wśród wylosowanych kart jest co najmniej jeden as. Rozważymy zdarzenie przeciwne - nie ma żadnego asa, wtedy

$\overline{\overline{B{}^{\prime }}}=\left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)$  

Stąd

$\overline{\overline{B}}=\left(\begin{array}{c}24\\ 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)$  

Rozważmy zdarzenia sprzyjające A∩B. Wśród wylosowanych kart jest co najmniej jeden as oraz są dokładnie trzy asy - zatem po prostu są dokładnie trzy asy.

$\overline{\overline{A\cap B}}=\overline{\overline{A}}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 3\end{array}\right)$  

Otrzymujemy

$P\left(A\mid B\right)=\frac{\overline{\overline{A\cap B}}}{\overline{\overline{B}}}=\frac{\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 3\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}24\\ 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)}$  

---

Prawdopodobieństwo P(B|A'). Obliczymy najpierw P(B'|A').

Rozważmy zdarzenia sprzyjające A'. Wśród wylosowanych kart nie ma dokładnie 3 asów.

$\overline{\overline{A{}^{\prime }}}=\left(\begin{array}{c}24\\ 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 3\end{array}\right)$  

Rozważmy zdarzenia sprzyjające A'∩B'. Wśród wylosowanych kart nie ma asa oraz nie ma dokładnie trzech asów - zatem po prostu nie ma asa.

$\overline{\overline{A{}^{\prime }\cap B{}^{\prime }}}=\overline{\overline{B{}^{\prime }}}=\left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)$  

Otrzymujemy

$P\left(B{}^{\prime }\mid A{}^{\prime }\right)=\frac{\overline{\overline{A{}^{\prime }\cap B{}^{\prime }}}}{\overline{\overline{A{}^{\prime }}}}=\frac{\left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}24\\ 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 3\end{array}\right)}$  

Zatem ze wzoru

$P\left(B\mid A{}^{\prime }\right)=1-P\left(B{}^{\prime }\mid A{}^{\prime }\right)=1-\frac{\left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}24\\ 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 3\end{array}\right)}$  

---

Prawdopodobieństwo P(A|B'). 

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo, że są wylosowane dokładnie trzy asy jeśli śród wylosowanych kart nie ma asa. To jest zdarzenie niemożliwe.

$P\left(A\mid B{}^{\prime }\right)=0$