Oznaczmy:

h₁ - długość wysokości trójkąta CAW₁, opuszczonej z wierzchołka W₁

h₂ - długość wysokości trójkąta ABW₂, opuszczonej z wierzchołka W₂ 

h₃ - długość wysokości trójkąta CBW₃, opuszczonej z wierzchołka W₃ 

Korzystając z podobieństwa podanych trójkątów mamy: 

• $\frac{h_2}{h_1}=\frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}\mid \cdot h_1$

$h_2=h_1\cdot \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}$  

• $\frac{h_3}{h_1}=\frac{\left|CB\right|}{\left|AC\right|}\mid \cdot h_1$  

$h_3=h_1\cdot \frac{\left|CB\right|}{\left|AC\right|}$  

Zapiszmy wzory na pola tych trójkątów:

$P_1=\frac{1}{2}{h}_1\left|AC\right|$

$P_2=\frac{1}{2}{h}_2\left|AB\right|=\frac{1}{2}{h}_1\cdot \frac{{\left|AB\right|}^2}{\left|AC\right|}$

$P_3=\frac{1}{2}{h}_3\left|CB\right|=\frac{1}{2}{h}_1\cdot \frac{{\left|CB\right|}^2}{\left|AC\right|}$    

Obliczmy sumę pól P₁+P₂. Mamy:

$P_1+P_2=\frac{1}{2}{h}_1\left|AC\right|+\frac{1}{2}{h}_1\cdot \frac{{\left|AB\right|}^2}{\left|AC\right|}=\frac{1}{2}{h}_1\left(\left|AC\right|+\frac{{\left|AB\right|}^2}{\left|AC\right|}\right)=\frac{1}{2}{h}_1\left(\frac{{\left|AC\right|}^2}{\left|AC\right|}+\frac{{\left|AB\right|}^2}{\left|AC\right|}\right)=\frac{1}{2}{h}_1\frac{{\left|AC\right|}^2+{\left|AB\right|}^2}{\left|AC\right|}=\dots$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że

${\left|AC\right|}^2+{\left|AB\right|}^2={\left|BC\right|}^2$  

Mamy zatem:

$\dots =\frac{1}{2}{h}_1\frac{{\left|BC\right|}^2}{\left|AC\right|}=P_3$  

c.k.d.