$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge \frac{2}{a+b}$  

Zakładamy, że:

$a>0\wedge b>0$  

Przekształcamy równoważnie daną nierówność. 

$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge \frac{2}{a+b}\mid \cdot 2a$  

$1+\frac{2a}{2b}\ge \frac{4a}{a+b}\mid \cdot 2b$  

$2b+2a\ge \frac{8ab}{a+b}\mid \cdot \left(a+b\right)$  

$2\left(a+b\right)\ge \frac{8ab}{a+b}\mid :2$  

$a+b\ge \frac{4ab}{a+b}\mid \cdot \left(a+b\right)$  

${\left(a+b\right)}^2\ge 4ab$  

$a^2+2ab+b^2\ge 4ab\mid -4ab$  

$a^2-2ab+b^2\ge 0$  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

${\left(a-b\right)}^2\ge 0$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc powyższa nierówność jest prawdziwa dla dowolnych dodatnich liczby rzeczywistych  $a$  i  $b.$  

c. n. d.