Wprowadźmy oznaczenie:

$k=7a+2,a\in \mathbb{Z}$  

ponieważ, wiemy, że liczba $k$   jest całkowita i przy dzieleniu przez $7$   daje resztę $2$  .

Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy:  

$3k^2=3\cdot {\left(7a+2\right)}^2=3\cdot \left(49a^2+28a+4\right)=147a^2+84a+12=$  

$=147a^2+84a+7+5=7\cdot \left(21a^2+12a+1\right)+5$  

Zauważmy, że liczbę  $3k^2$  możemy zapisać w postaci sumy liczby podzielnej przez $7$   i liczby $5$  , zatem ta liczba przy dzieleniu przez $7$   daje resztę $5$  .

c.n.d.