Rysunek pomocniczy - stożek wpisany w ostrosłup.

Wysokość stożka który został wpisany w ostrosłup będzie taka sama jak wysokość ostrosłupa.

$H=2a$  

Narysujmy podstawę ostrosłupa wraz z wpisaną w nią podstawą stożka.

Zauważmy, że promień okręgu wpisanego w sześciokąt jest równy wysokości jednego z sześciu równobocznych trójkątów, które stanowią razem cały sześciokąt foremny. Zatem

$r=h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

Tworząca stożka będzie wysokością ściany bocznej ostrosłupa. Rozważmy trójkąt

Z twierdzenia Pitagorasa zachodzi

$h_b^2=H^2+h^2$  

$h_b^2={\left(2a\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2$  

$h_b^2=4a^2+\frac{3}{4}{a}^2$  

$h_b^2=\frac{19}{4}{a}^2$  

$h_b=\frac{a\sqrt{19}}{2}$  

Mamy tworzącą stożka

$l=\frac{a\sqrt{19}}{2}$  

Zatem pole powierzchni całkowitej stożka wynosi

$P_c=\pi r^2+\pi rl=\pi \cdot {\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{19}}{2}=\pi \cdot \frac{3a^2}{4}+\pi \cdot \frac{a^2\sqrt{57}}{4}=\frac{a^2\pi }{4}\left(3+\sqrt{57}\right)$  

Natomiast objętość

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}H=\frac{1}{3}\pi \cdot {\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2\cdot 2a=\frac{2}{3}\pi \cdot \frac{3a^2}{4}\cdot a=\frac{\pi a^3}{2}$