Naszkicujmy rysunek.

Zauważmy, że zachodzi w trójkącie będącym w środku sześcianu

${\left(x+4\right)}^2={\left(x\sqrt{2}\right)}^2+x^2$  

$x^2+8x+16=2x^2+x^2$  

$8x+16=2x^2$

$2x^2-8x-16=0$  

$x^2-4x-8=0,x>0$  

${\Delta }_x={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-8\right)=16+32=48,\sqrt{{\Delta }_x}=4\sqrt{3}$  

`x = \frac{4+4sqrt3}{2} = 2+sqt3\  \ x = \frac{4-4sqrt3}{2}= 2-2sqrt3\  

Zatem promień kluli stanowi połowę długości krawędzi sześcianu

$r=\frac{x}{2}=1+\sqrt{3}\text{cm}$