Dla uproszczenia zapisu rozwiązania, zmieńmy numerację domków w następujący sposób:

System przydziela losowo jeden z domków państwu Nowakom, a następnie jeden z pozostałych domków państwu Malinowskim. Wynik tego przydziału możemy zapisać jako uporządkowaną parę liczb, w której pierwsza liczba wskazuje numer domu przydzielony państwu Nowakom, a druga - państwu Malinowskim.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω stanowi zbiór wszystkich par uporządkowanych, jakie możemy w ten sposób otrzymać. Sprawdzamy, ile ich jest.

Pierwsza liczba w parze może zostać wybrana na 9 sposobów (jeden z 9 domków), a druga - na 8 sposobów (jeden z pozostałych 8 domków).
Zatem

$\left|\mathbf{\Omega }\right|=9\cdot 8=72$

 

a) Niech

A - obu rodzinom zostały przydzielone domki sąsiadujące ze sobą

Zbiór zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A możemy określić następująco:

$A=\{\left(1,2\right),\left(2,3\right),\left(3,4\right),\left(4,5\right),\left(6,7\right),\left(7,8\right),\left(8,9\right)$  

$\left(2,1\right),\left(3,2\right),\left(4,3\right),\left(5,4\right),\left(7,6\right),\left(8,7\right),\left(9,8\right)\}$  

Wobec tego

$\left|A\right|=14$

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe

$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{14}{72}=\underline{\underline{\frac{7}{36}}}$

---

b) Niech

A - rodzinom zostały przydzielone domki po przeciwnych stronach rzeki

Rozważmy dwa przypadki.

1. System przydzielił rodzinie Nowaków jeden z domków o numerach 1-5.

System może przydzielić rodzinie Nowaków jeden z domków o numerach 1-5 na 5 sposobów. Wówczas rodzinie Malinowskich musi przydzielić jeden z domków o numerach 6-9. Może to zrobić na 4 sposoby. W tym przypadku liczba możliwości przydzielenia domków po przeciwnych stronach rzeki jest równa

$5\cdot 4=20$  

2. System przydzielił rodzinie Nowaków jeden z domków o numerach 6-9.

System może przydzielić rodzinie Nowaków jeden z domków o numerach 6-9 na 4 sposoby. Wówczas rodzinie Malinowskich musi przydzielić jeden z domków o numerach 1-5. Może to zrobić na 5 sposobów. W tym przypadku liczba możliwości przydzielenia domków po przeciwnych stronach rzeki jest równa

$4\cdot 5=20$  

Zatem wszystkich możliwości przydzielenia domków po przeciwnych stronach rzeki jest

$20+20=40$

Każdy taki przydział sprzyja zajściu zdarzenia A. Czyli

$\left|A\right|=40$

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe

$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{40}{72}=\underline{\underline{\frac{5}{9}}}$