a)

Każdemu z dziewięciorga pływaków przydzielamy po jednym, osobnym torze.

Pierwszemu pływakowi przydzielamy jeden z 10 wolnych torów, więc możemy to zrobić na 10 sposobów.

Drugiemu pływakowi przydzielamy jeden z pozostałych 9 wolnych torów, więc możemy to zrobić na 9 sposobów.

Trzeciemu pływakowi przydzielamy jeden z pozostałych 8 wolnych torów, więc możemy to zrobić na 8 sposobów itd.

Zgodnie z regułą mnożenia, otrzymujemy następującą liczbę możliwości przydziału torów pływakom

$\underline{\underline{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=3628800}}$  

---

b) 

Do każdego z trzech miejsc na podium typujemy jednego zawodnika.

Do zajęcia pierwszego miejsca typujemy jednego z 8 zawodników, więc możemy to zrobić na 8 sposobów. 

Do zajęcia drugiego miejsca typujemy jednego z pozostałych 7 zawodników, więc możemy to zrobić na 7 sposobów.

Do zajęcia trzeciego miejsca typujemy jednego z pozostałych 6 zawodników, więc możemy to zrobić na 6 sposobów.

Zgodnie z regułą mnożenia, otrzymujemy następującą liczbę możliwości wytypowania osób do zajęcia poszczególnych miejsc

$\underline{\underline{8\cdot 7\cdot 6=336}}$  

---

c) 

Każdemu z dziesięciorga dzieci przydzielamy jeden z 2 baloników: biały lub czerwony. 

Pierwszemu dziecku przydzielamy jeden z 2 baloników, więc możemy to zrobić na 2 sposoby. 

Drugiemu dziecku przydzielamy jeden z 2 baloników, więc możemy to zrobić na 2 sposoby. 

Trzeciemu dziecku przydzielamy jeden z 2 baloników, więc możemy to zrobić na 2 sposoby itd.

Zgodnie z regułą mnożenia, otrzymujemy następującą liczbę możliwości przydziału baloników dzieciom

$\underline{\underline{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{10}=1024}}$  

---

d)

10 miejsc w rzędzie musimy zapełnić, przypisując do każdego dziewczynę lub chłopca, przy czym osoby ten samej płci nie mogą stać koło siebie.

PRZYPADEK I: rząd zaczynamy od dziewczyny

Na pierwszym miejscu w rzędzie ustawiamy jedną z 5 dziewczyn, możemy to więc zrobić na 5 sposobów.

Na drugim miejscu w rzędzie ustawiamy jednego z 5 chłopców, możemy to więc zrobić na 5 sposobów.

Na trzecim miejscu w rzędzie ustawiamy jedną z pozostałych 4 dziewczyn, możemy to więc zrobić na 4 sposoby.

Na czwartym miejscu w rzędzie ustawiamy jednego pozostałych z 4 chłopców, możemy to więc zrobić na 4 sposoby.

Na piątym miejscu w rzędzie ustawiamy jedną z pozostałych 3 dziewczyn, możemy to więc zrobić na 3 sposoby.

Na szóstym miejscu w rzędzie ustawiamy jednego pozostałych z 3 chłopców, możemy to więc zrobić na 3 sposoby.

Na siódmym miejscu w rzędzie ustawiamy jedną z pozostałych 2 dziewczyn, możemy to więc zrobić na 2 sposoby.

Na ósmym miejscu w rzędzie ustawiamy jednego pozostałych z 2 chłopców, możemy to więc zrobić na 2 sposoby.

Na dziewiątym miejscu w rzędzie ustawiamy ostatnią dziewczynę, która jeszcze została. Możemy to zrobić tylko w 1 sposób.

Na dziesiątym miejscu w rzędzie ustawiamy ostatniego chłopca, który jeszcze został. Możemy to zrobić tylko w 1 sposób.

Zgodnie z regułą mnożenia, otrzymujemy następującą liczbę ustawień

$5\cdot 5\cdot 4\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1=14400$  

PRZYPADEK II: rząd zaczynamy od dziewczyny

Liczba możliwych ustawień jest dokładnie taka sama jak w PRZYPADKU I, czyli

$5\cdot 5\cdot 4\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1=14400$  

Sytuacja różni się tylko tym, że zaczynamy rząd od chłopca, dalej ustawiamy dziewczynę, później chłopca itd. Rząd kończy się na dziewczynie.

Łączna liczba możliwości ustawienia w ten sposób w rzędzie 5 dziewczyn i 5 chłopców jest więc równa

$\underline{\underline{2\cdot 14400=28800}}$