Dla jakich wartości parametru a początek ...- Zadanie 157: Matematyka z plusem 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Mamy dwie możliwości:

(1) Kąt prosty znajduję się przy wierzchołku C (zgodnie z oznaczeniami z poniższego rysunku).

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy -1. Równanie prostej AC możemy więc zapisać w postaci:

$y = - x + b$

Do tej prostej należy punkt A, więc:

$0 = - 0 + b$

$0 = b$

Prosta AC dana jest równaniem:

$y = - x$

Wyznaczamy współrzędne punktu C.

${y = x + 4 y = - x$

${- x = x + 4 ∣ + x y = - x$

${0 = 2 x + 4 ∣ - 4 y = - x$

${- 4 = 2 x ∣ : 2 y = - x$

${- 2 = x y = - x$

${x = - 2 y = - (- 2)$

${x = - 2 y = 2$

Zatem:

$C = (- 2, 2)$

Wyznaczamy wartość parametru a, dla której punkt C należy do paraboli.

$2 = a \cdot (- 2)^{2}$

$2 = a \cdot 4 ∣ : 4$

$\frac{1}{2} = a$

(2) Kąt prosty znajduję się przy wierzchołku A (zgodnie z oznaczeniami z poniższego rysunku).

Równanie prostej AC możemy zapisać w postaci:

$y = c x$

Punkt C leży na tej prostej, więc:

$C = (x_{C}, c x_{C})$

Współrzędne punktu C są rozwiązaniem układu równań:

${y = c x y = x + 4$

Stąd otrzymujemy:

$c x_{C} = x_{C} + 4 ∣ - x_{C}$

$c x_{C} - x_{C} = 4$

$x_{C} (c - 1) = 4$

Liczba c jest różna od 1, ponieważ prosta y=cx nie jest równoległa do prostej y=x+4. Wobec tego:

$x_{C} = \frac{4}{c - 1}$

Współrzędne punktu C są również rozwiązaniem układu równań:

${y = c x y = a x^{2}$

Stąd otrzymujemy:

$c x_{C} = a x_{C}^{2} ∣ : x_{C}$

$c = a x_{C} ∣ : a$

$\frac{c}{a} = x_{C}$

Wobec tego:

$\frac{4}{c - 1} = \frac{c}{a}$

Korzystamy z własności proporcji:

$4 a = c (c - 1)$

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy -1. Równanie prostej AB możemy więc zapisać w postaci:

$y = - \frac{1}{c} x$

Punkt B leży na tej prostej, więc:

$B = (x_{B}, - \frac{1}{c} x_{B})$

Współrzędne punktu B są rozwiązaniem układu równań:

${y = - \frac{1}{c} x y = x + 4$

Stąd otrzymujemy:

$- \frac{1}{c} x_{B} = x_{B} + 4 ∣ \cdot (- c)$

$x_{B} = - c x_{B} - 4 c ∣ + c x_{B}$

$x_{B} + c x_{B} = - 4 c$

$x_{B} (1 + c) = - 4 c$

Liczba c jest różna od -1, ponieważ prosta y=cx nie jest prostopadła do prostej y=x+4. Wobec tego:

$x_{B} = \frac{- 4 c}{1 + c}$

Współrzędne punktu B są również rozwiązaniem układu równań:

${y = - \frac{1}{c} x y = a x^{2}$

Stąd otrzymujemy:

$- \frac{1}{c} x_{B} = a x_{B}^{2} ∣ : x_{B}$

$- \frac{1}{c} = a x_{B} ∣ : a$

$- \frac{1}{a c} = x_{B}$

Wobec tego:

$\frac{- 4 c}{1 + c} = - \frac{1}{a c}$

Korzystamy z własności proporcji:

$- 4 a c^{2} = - (1 + c) ∣ : (- 1)$

$4 a c^{2} = 1 + c$

W miejsce 4a wstawiamy c(c-1).

$c (c - 1) c^{2} = 1 + c$

$c^{3} (c - 1) = 1 + c$

$c^{4} - c^{3} = 1 + c ∣ - c$

$c^{4} - c^{3} - c = 1 ∣ - 1$

$c^{4} - c^{3} - c - 1 = 0$

Na podstawie twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu rozwiązań powyższego równania należy upatrywać wśród liczb 1 oraz -1. Wiemy jednak, że liczba c jest różna od tych liczb. Równanie to nie ma rozwiązań wymiernych.

Skorzystamy z metody grupowania wyrazów i postaramy się wyznaczyć pierwiastki wymierne tego równania - powinniśmy otrzymać dwa rozwiązania rzeczywiste.

$c^{4} - c^{3} + c^{2} - c^{2} - c - 1 = 0$

$c^{4} + c^{2} - c^{3} - c - c^{2} - 1 = 0$

$c^{2} (c^{2} + 1) - c (c^{2} + 1) - (c^{2} + 1) = 0$

$(c^{2} + 1) (c^{2} - c - 1) = 0$

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0, zatem:

$c^{2} + 1 = 0 lub c^{2} - c - 1 = 0$

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, a suma liczby nieujemnej i liczby 1 jest dodatnia, zatem pierwsze równanie nie ma rozwiązania.

Rozwiązań równania należy szukać w drugim równaniu. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 1 + 4 = 5$

Wyznaczamy pierwiastki.

$c_{1} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2}$

$c_{2} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2}$

Przyjęliśmy, że c to współczynnik prostej AC, a funkcja ta jest malejąca, więc:

$c = \frac{1 - 5}{2}$

Wyznaczamy współczynnik a.

$4 a = c (c - 1) ∣ : 4$

$a = \frac{c ( c - 1 )}{4}$

Mamy więc:

$a = \frac{\frac{1 - 5}{2} \cdot ( \frac{1 - 5}{2} - 1 )}{4} = \frac{\frac{1 - 5}{2} \cdot ( \frac{1 - 5}{2} - \frac{2}{2} )}{4} = \frac{\frac{1 - 5}{2} \cdot \frac{1 - 5 - 2}{2}}{4} = \frac{\frac{- 5 + 1}{2} \cdot \frac{- 5 - 1}{2}}{4} = \frac{\frac{( - 5 + 1 ) ( - 5 - 1 )}{4}}{4} = \frac{( - 5 + 1 ) ( - 5 - 1 )}{16} = \frac{5 + 5 - 5 - 1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$