Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny:

Zauważymy, że ponieważ kąt BPD jest kątem dwuściennym między ścianami BCS i CDS, to kąt SPO jest kątem prostym.

Stąd:

$\cos \sphericalangle SOP=\frac{\left|OP\right|}{\left|OS\right|}$  

 

Ze wzoru na wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka kąta prostego:

$\left|OP\right|=\frac{\left|OC\right|\cdot \left|OS\right|}{\left|CS\right|}$  

 

Zatem:

$\cos \sphericalangle SOP=\frac{\frac{|OC|\cdot |OS|}{|CS|}}{\left|OS\right|}$  

$\cos \sphericalangle SOP=\frac{\left|OC\right|\cdot {\cancel{\left|OS\right|}}^1}{\left|CS\right|}\cdot \frac{1}{{\cancel{\left|OS\right|}}^1}$  

$\cos \sphericalangle SOP=\frac{\left|OC\right|}{\left|CS\right|}$  

 

Ze wzoru na przekątną kwadratu:

$\left|AC\right|=a\sqrt{2}$  

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie, więc:

$\left|OC\right|=\frac{1}{2}\left|AC\right|=\frac{1}{2}a\sqrt{2}$  

 

Podstawiamy dane i otrzymujemy, że:

$\cos \sphericalangle SOP=\frac{\frac{1}{2}a\sqrt{2}}{2a}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}=\underline{\underline{\frac{1}{4}\sqrt{2}}}$