Dla ułatwienia obliczeń wprowadźmy dodatkowe oznaczenia jak na poniższym rysunku. W zadaniu mamy daną krawędź sześciokąta a oraz kąt nachylenia przekroju α.

Przekrój, który jest pięciokątem podzielmy na trójkąt równoramienny PRS oraz trapez PSKM.

Policzmy pola obu figur i w sumie uzyskamy pole całego przekroju.

---

Wiemy, że pięciokąt będzie symetryczny względem odcinka RL. Mamy

$\left|PS\right|=\left|BD\right|=a\sqrt{2}$  

Zauważmy, że skoro M oraz K są środkami krawędzi sześcianu to

$\left|MK\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|BD\right|=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$  

Zachodzi również

$\left|OL\right|=\frac{1}{4}\left|AC\right|=\frac{1}{4}\cdot a\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}a$  

Rozważmy trójkąt EOL, jest to trójkąt prostokątny i zachodzi dla niego

$\cos \alpha =\frac{\left|OL\right|}{\left|EL\right|}$  

$\cos \alpha =\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}a}{\left|EL\right|}$  

$\left|EL\right|=\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}a}{\cos \alpha }$  

$\left|EL\right|=\frac{\sqrt{2}a}{4\cos \alpha }$  

Możemy policzyć pole trapezu PSKM

$P_{PSKM}=\frac{\left(\left|MK\right|+\left|PS\right|\right)\cdot \left|EL\right|}{2}=\frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a+\sqrt{2}a\right)\cdot \frac{\sqrt{2}a}{4\cos \alpha }}{2}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}a\cdot \sqrt{2}a}{8\cos \alpha }=\frac{3a^2}{8\cos \alpha }$  

---

Przypomnijmy, że

$\left|PS\right|=\left|BD\right|=a\sqrt{2}$

Zauważmy, że skoro M oraz K są środkami krawędzi sześcianu to

$\left|CL\right|=\frac{3}{4}\cdot \left|AC\right|=\frac{3}{4}\sqrt{2}a=\frac{3\sqrt{2}}{4}a$  

Rozważmy trójkąt prostokątny CLR. Zachodzi w nim

$\cos \alpha =\frac{\left|CL\right|}{\left|LR\right|}$  

$\cos \alpha =\frac{\frac{3\sqrt{2}}{4}a}{\left|LR\right|}$  

$\left|LR\right|=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{4}a}{\cos \alpha }$  

$\left|LR\right|=\frac{3\sqrt{2}a}{4\cos \alpha }$  

Stąd

$\left|ER\right|=\left|LR\right|-\left|EL\right|=\frac{3\sqrt{2}a}{4\cos \alpha }-\frac{\sqrt{2}a}{4\cos \alpha }=\frac{2\sqrt{2}a}{4\cos \alpha }$  

Obliczmy pole trójkąta PRS.

$P_{PRS}=\frac{1}{2}\cdot \left|PS\right|\cdot \left|ER\right|=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}a\cdot \frac{2\sqrt{2}a}{4\cos \alpha }=\frac{4a^2}{8\cos \alpha }$  

---

Zatem pole przekroju PRSKM wynosi

$P_{PRSKM}=P_{PSKM}+P_{PRS}=\frac{3a^2}{8\cos \alpha }+\frac{4a^2}{8\cos \alpha }=\frac{7a^2}{8\cos \alpha }$  

Co było do udowodnienia.