Udowodnij tożsamość...- Zadanie 4.38: Prosto do matury 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

a) Mamy

$(sin α + cos α)^{2} + (sin α - cos α)^{2} = 2$

Rozpisując lewą stronę równania otrzymujemy:

$L = (sin α + cos α)^{2} + (sin α - cos α)^{2} = sin^{2} α + 2 sin α + cos^{2} α + sin^{2} α - 2 sin α cos α + cos^{2} α = 2 sin^{2} α + 2 cos^{2} α = 2 (sin^{2} α + cos^{2} α) = 2 \cdot 1 = 2 = P$

c.b.d.u.

b) Założenia:

$t g α \neq = 0$

Mamy

$(t g α - \frac{1}{t g α})^{2} = t g^{2} α + \frac{1}{t g ^{2} α} - 2$

Rozpisując lewą stronę równania otrzymujemy:

$L = (t g α - \frac{1}{t g α})^{2} = t g^{2} α - 2 \cdot t g α \cdot \frac{1}{t g α} + \frac{1}{t g ^{2} α} = t g^{2} α - 2 + \frac{1}{t g ^{2} α} = t g^{2} α + \frac{1}{t g ^{2} α} - 2 = P$

c.b.d.u.

c) Mamy

$cos^{4} α - sin^{4} α = 1 - 2 sin^{2} α$

Rozpisując lewą stronę równania otrzymujemy:

$L = cos^{4} α - sin^{4} α = (cos^{2} α)^{2} - (sin^{2} α)^{2} = (cos^{2} α - sin^{2} α) (cos^{2} α + sin^{2} α) = (cos^{2} α - sin^{2} α) \cdot 1 = 1 - sin^{2} α - sin^{2} α = 1 - 2 sin^{2} α = P$

c.b.d.u.

d) Mamy

$\frac{sin α}{cos α} - \frac{cos α}{sin α} = (t g α - 1) (\frac{1}{t g α} + 1)$

Rozpisując prawą stronę równości mamy:

$P = (t g α - 1) (\frac{1}{t g α} + 1) = (\frac{sin α}{cos α} - 1) (\frac{1}{\frac{s i n α}{c o s α}} + 1) = (\frac{sin α}{cos α} - \frac{cos α}{cos α}) (\frac{cos α}{sin α} + \frac{sin α}{sin α}) = \frac{sin α - cos α}{cos α} \cdot \frac{cos α + sin α}{sin α} = \frac{sin α cos α + sin ^{2} α - cos ^{2} α - sin α cos α}{sin α cos α} = \frac{sin ^{2} α - cos ^{2} α}{sin α cos α} = \frac{sin ^{2} α}{sin α cos α} - \frac{cos ^{2} α}{sin α cos α} = \frac{sin α}{cos α} - \frac{cos α}{sin α} = L$