Prawdopodobieństwo sukcesu - uczeń nie spóźnia się do szkoły to

$p=1-0,15=0,85$  

Mamy prawdopodobieństwo porażki

$q=0,15$  

Zauważmy, że skoro prawdopodobieństwo sukcesu jest dużo większe niż prawdopodobieństwo porażki to najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów powinna być bliska liczbie wszystkich prób. Sprawdźmy

Prawdopodobieństwo 19 sukcesów na 19 prób 

$P_{19}\left(19\right)=\left(\begin{array}{c}19\\ 19\end{array}\right)\cdot {0,85}^{19}={0,85}^{19}$  

Prawdopodobieństwo 18 sukcesów na 19 prób 

$P_{19}\left(18\right)=\left(\begin{array}{c}19\\ 18\end{array}\right)\cdot {0,85}^{18}\cdot {0,15}^1=19\cdot 0,15\cdot {0,85}^{18}=2,85\cdot {0,85}^{18}$  

Prawdopodobieństwo 17 sukcesów na 19 prób 

$P_{19}\left(17\right)=\left(\begin{array}{c}19\\ 17\end{array}\right)\cdot {0,85}^{17}\cdot {0,15}^2=\frac{19!}{17!\cdot 2!}\cdot 0,0225\cdot {0,85}^{17}=9\cdot 19\cdot 0,0225\cdot {0,85}^{17}=3,8475\cdot {0,85}^{17}$  

Prawdopodobieństwo 16 sukcesów na 19 prób 

$P_{19}\left(16\right)=\left(\begin{array}{c}19\\ 16\end{array}\right)\cdot {0,85}^{16}\cdot {0,15}^3=\frac{19!}{16!\cdot 3!}\cdot 0,003375\cdot {0,85}^{16}=\frac{17\cdot 18\cdot 19}{6}\cdot 0,003375\cdot {0,85}^{16}=3,270375\cdot {0,85}^{16}$  

Prawdopodobieństwo 15 sukcesów na 19 prób 

$P_{19}\left(15\right)=\left(\begin{array}{c}19\\ 15\end{array}\right)\cdot {0,85}^{15}\cdot {0,15}^4=\frac{19!}{15!\cdot 4!}\cdot 0,00050625\cdot {0,85}^{15}=\frac{16\cdot 17\cdot 18\cdot 19}{24}\cdot 0,00050625\cdot {0,85}^{15}=3876\cdot 0,00050625\cdot {0,85}^{15}=1,962225\cdot {0,85}^{15}$  

Każde następne prawdopodobieństwo będzie mniejsze.

Mamy

$P_{19}\left(19\right)={0,85}^{19}={0,85}^4\cdot {0,85}^{15}=0,52200625\cdot {0,85}^{15}$  

$P_{19}\left(18\right)=2,85\cdot {0,85}^{18}=2,85\cdot {0,85}^3\cdot {0,85}^{15}=1.75025625\cdot {0,85}^{15}$  

$P_{19}\left(17\right)=3,8475\cdot {0,85}^{17}=3,8475\cdot {0,85}^2\cdot {0,85}^{15}=\underline{2.77981875\cdot {0,85}^{15}}$  

$P_{19}\left(16\right)=3,270375\cdot {0,85}^{16}=3,270375\cdot 0,85\cdot {0,85}^{15}=\underline{2.77981875\cdot {0,85}^{15}}$  

$P_{19}\left(15\right)=1,962225\cdot {0,85}^{15}$  

$P_{19}\left(14\right)<P_{19}\left(15\right)$  

Zatem najbardziej prawdopodobna liczba niespóźnionych uczniów to 16 i 17.