Prawdopodobieństwo całkowite

Jeśli zdarzenia B1, B2, ..., Bn ⊂ Ω  spełniają B1 ∪ B2 ∪ B3 ∪ . . . ∪ Bn = Ω  P(Bi) > 0 dla 1 ≤ i ≤ n Bi∩Bj = ∅ dla i≠j, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n czyli tworzą układ zupełny i A⊂Ω , to $P\left(A\right)=P\left(A\mid B_1\right)P\left(B_1\right)+P\left(A\mid B_2\right)P\left(B_2\right)+\dots +P\left(A\mid B_n\right)P\left(B_n\right)$

---

Oznaczmy wydarzenia:

B₁ - wylosowaliśmy za pierwszym razem liczbę podzielną przez 3,

B₂ - wylosowaliśmy za pierwszym razem liczbę niepodzielną przez 3,

A - wylosowaliśmy za drugim razem liczbę podzielną przez 3.

Zauważmy, że wydarzenia B₁ i B₂ wypełniają całą przestrzeń zdarzeń i są rozłączne. Zapiszmy, że zachodzi

$P\left(B_1\right)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$  

$P\left(B_2\right)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$  

ponieważ mamy 4 liczby podzielne przez 3 i 6 niepodzielnych. Obliczmy, jeśli zabrano liczbę podzielną przez 3 to mamy ich mniej (a liczb pozostało 9)

$P\left(A\mid B_1\right)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$  

Jeśli zabrano niepodzielną przez 3 to jest tyle samo podzielny, a wszystkich licz 9

$P\left(A\mid B_2\right)=\frac{4}{9}$  

Skorzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite

$P\left(A\right)=P\left(A\mid B_1\right)P\left(B_1\right)+P\left(A\mid B_2\right)P\left(B_2\right)$  

Zapiszmy

$P\left(A\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{5}+\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{5}=\frac{2}{15}+\frac{12}{45}=\frac{6}{45}+\frac{12}{45}=\frac{18}{45}=\frac{2}{5}$  

Narysujmy drzewo.

---

Prawidłowa odpowiedź to D.