Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku przekroju stożka wraz przekrojem kuli.

Zauważmy, że dla trójkąta prostokątnego CDB mamy

$\text{tg}\alpha =\frac{R}{h}\mid \cdot h$  

$h=\frac{R}{\mathrm{tg}\alpha }$  

Zauważmy, że z sumy kątów w trójkącie wynika, że 

$\left|\sphericalangle ABD\right|=\frac{\pi }{2}-\alpha$  

Środek okręgu wpisanego w trójkąt znajduje się na przecięciu się dwusiecznych, zatem

$\left|\sphericalangle OBD\right|=\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2}$  

Mamy

W zaznaczonym trójkącie zachodzi

$\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{\left|OD\right|}{\left|DB\right|}$  

$\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{r}{R}$  

Zatem

$R=\frac{r}{\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2}\right)}$  

Stąd

$h=\frac{R}{\mathrm{tg}\alpha }=\frac{\frac{r}{\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2}\right)}}{\mathrm{tg}\alpha }=\frac{r}{\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2}\right)}$  

Zatem objętość tego stożka to

$V=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot h=\frac{\pi }{3}\cdot {\left(\frac{r}{\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2}\right)}\right)}^2\cdot \frac{r}{\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2}\right)}=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{r^2}{{\mathrm{tg}}^2\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2}\right)}\cdot \frac{r}{\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2}\right)}=\frac{\pi r^3}{3\text{tg}\alpha \cdot {\text{tg}}^3\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2}\right)}$