Podstawą graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest sześciokąt foremny. Sześciokąt foremny można podzielić na sześć przystających trójkątów równobocznych. Przekątna wielościanu to odcinek łączący dwa wierzchołki i niezawarty w żadnej ze ścian.

---

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

 

Zauważmy, że:

$\sin {30}^{\circ }=\frac{h}{4\sqrt{3}}$  

$\frac{1}{2}=\frac{h}{4\sqrt{3}}$  

$2h=4\sqrt{3}\mid :2$  

$h=2\sqrt{3}$  

 

Ponadto:

$\cos {30}^{\circ }=\frac{2x}{4\sqrt{3}}$  

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2x}{4\sqrt{3}}$  

$2\cdot 2x=\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}$  

$4x=3\cdot 4\mid :4$  

$x=3$  

 

Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

$x=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

 

Zatem:

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=3\mid \cdot 2$  

$a\sqrt{3}=6\mid :\sqrt{3}$  

$a=\frac{6}{\sqrt{3}}$  

 

Obliczamy pole podstawy tego graniastosłupa:

$P_p={\cancel{6}}^3\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{{\cancel{4}}^2}=\frac{3\sqrt{3}{a}^2}{2}$  

Podstawiamy i otrzymujemy, że:

$P_p=\frac{3\sqrt{3}\cdot {\left(\frac{6}{\sqrt{3}}\right)}^2}{2}=\frac{{\cancel{3}}^1\sqrt{3}\cdot \frac{36}{{\cancel{3}}^1}}{2}=\frac{36\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}$  

 

Obliczamy objętość tego graniastosłupa:

$V=P_p\cdot h=18\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=36\cdot 3=\underline{\underline{108}}$