Dana jest funkcja f określona i różniczkowalna w przedziale (a, b). Wówczas: Jeśli f'(x)>0 dla każdego x∈(a, b), to funkcja f jest w tym przedziale rosnąca. Jeśli f'(x)<0 dla każdego x∈(a, b), to funkcja f jest w tym przedziale malejąca. Ponadto, w punkcie, w którym f ma ekstremum, pochodna funkcji f zmienia znak.

---

Objętości pewnych brył wyrażają się wzorem:

$V\left(x\right)=\pi \left(6-x\right)x^2,\text{gdzie}x\in \left(0,6\right)$  

 

Dana jest więc funkcja V(x):

$V\left(x\right)=\pi \left(6x^2-x^3\right)$  

$D_V=\left(0,6\right)$  

 

Wyznaczamy pochodną funkcji V(x):

$V{}^{\prime }\left(x\right)=\pi \left(12x-3x^2\right)$  

$D_{V{}^{\prime }}=D_V=\left(0,6\right)$  

 

Wyznaczamy miejsca zerowe V'(x):

$\pi \left(12x-3x^2\right)=0\mid :\pi$  

$12x-3x^2=0$  

$3x\left(4-x\right)=0$  

$3x=0\vee 4-x=0$  

$\underset{\notin D_{V{}^{\prime }}}{\underbrace{x=0}}\vee \underset{\in D_{V{}^{\prime }}}{\underbrace{x=4}}$  

Stąd:

$V{}^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=4$  

 

Zauważmy, że:

Stąd:

$V{}^{\prime }\left(x\right)>0\iff x\in \left(0,4\right)$  

$V{}^{\prime }\left(x\right)<0\iff x\in \left(4,6\right)$  

 

$x$	$\left(0,4\right)$	$4$	$\left(4,6\right)$
$V{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$
$V\left(x\right)$	$\nearrow$	$V\left(4\right)$ $\text{maks.}$	$\searrow$

 

 

Funkcja V(x) przyjmuje największą wartość dla x=4.

Największa objętość wynosi więc:

$V\left(4\right)=\pi \cdot \left(6-4\right)\cdot 4^2=\pi \cdot 2\cdot 16=\underline{\underline{32\pi }}$  

---

Odpowiedź: D.