Czworościan foremny to czworościan, którego wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi. Wysokości trójkąta równobocznego przecinają się w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka).

---

Rysunek pomocniczy:

Ze wzoru na przekątną kwadratu otrzymujemy, że krawędź czworościanu (foremnego) jest równa:

$a\sqrt{2}$  

 

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

$3x=\frac{a\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2}$  

$3x=\frac{a\sqrt{6}}{2}\mid :3$  

$x=\frac{a\sqrt{6}}{2}\cdot \frac{1}{3}$  

$x=\frac{a\sqrt{6}}{6}\left(\text{*}\right)$  

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

$x^2+h^2={\left(3x\right)}^2$  

$x^2+h^2=9x^2$  

$h^2=9x^2-x^2$  

$h^2=8x^2$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$h=\sqrt{8x^2}$  

$h=\sqrt{4\cdot 2\cdot x^2}$  

$h=2\sqrt{2}x$  

Podstawiamy (*) i otrzymujemy, że:

$h={\cancel{2}}^1\sqrt{2}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{{\cancel{6}}^3}$  

$h=\frac{\sqrt{12}a}{3}$  

$h=\frac{\sqrt{4\cdot 3}}{3}a$  

$h=\underline{\underline{\frac{2\sqrt{3}}{3}a}}$  

---

Odpowiedź: B.