Założenie: Liczby

$b,c,2b-a$  

są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Teza: Liczby

$ab,b^2,c^2$  

są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

---

Dowód: Z własności ciągu geometrycznego mamy

$b\cdot \left(2b-a\right)=c^2$

$2b^2-ab=c^2\mid +ab$   

$2b^2=c^2+ab\mid :2$  

$b^2=\frac{c^2+ab}{2}$  

jest to własność ciągu arytmetycznego, zatem liczby

$ab,b^2,c^2$  

są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

c.b.d.u.