Niech X będzie zmienną losową o wartościach x1, x2, ..., xn przyjmowanych z prawdopodobieństwami odpowiednio p1, p2, ..., pn. Wartością oczekiwaną zmiennej X nazywamy liczbę: $EX=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\dots +x_n{p}_n$

 

Grę nazywamy sprawiedliwą, jeśli jej wartość oczekiwana jest równa 0.

---

a)

Rzucamy dwiema monetami. Jeśli wypadną dwie reszki, to wygrywamy x₁=20 zł, jeśli wypadnie jedna reszka, to wygrywamy x₂=10 zł, a jeśli wypadną dwa orły, to przegrywamy x₃=-40 zł.  

Dla x₁ mamy p₁=¹/₄, dla x₂ mamy p₂=¹/₂, a dla x₃ mamy p₃=¹/₄.

Uzasadnijmy, że ta gra jest sprawiedliwa, czyli EX=0. 

Korzystając ze wzoru na wartość oczekiwaną mamy:

$EX=\frac{1}{4}\cdot 20+\frac{1}{2}\cdot 10+\frac{1}{4}\cdot \left(-40\right)=5+5-10=0\left[\text{zł}\right]$  

Zatem skoro EX=0, to ta gra jest sprawiedliwa. 

co kończy dowód.

---

b)

Rzucamy dwiema monetami. Jeśli wypadną dwie reszki, to wygrywamy x₁=49 zł, jeśli wypadnie jedna reszka, to wygrywamy x₂=49 zł, a jeśli wypadną dwa orły, to przegrywamy x₃.  

Dla x₁ mamy p₁=¹/₄, dla x₂ mamy p₂=¹/₂, a dla x₃ mamy p₃=¹/₄.

Wiemy, że gra ta jest sprawiedliwa, czyli EX=0. Korzystając ze wzoru na wartość oczekiwaną, otrzymujemy równanie: 

$\frac{1}{4}\cdot 49+\frac{1}{2}\cdot 49+\frac{1}{4}\cdot x_3=0$  

$\frac{49}{4}+\frac{49}{2}+\frac{1}{4}{x}_3=0$

$\frac{49}{4}+\frac{98}{4}+\frac{1}{4}{x}_3=0$   

$\frac{1}{4}{x}_3=-\frac{147}{4}\mid \cdot \left(-4\right)$

$\underline{x_3=-147}$   

Uwaga!!! W odpowiedzi podanej na końcu podręcznika jest błąd. Poprawną odpowiedzią jest x₃=-147.