a)

W podręczniku przedstawiono rysunek na którym zaznaczono kąty 𝛼, 𝛽 i 𝛾.

Dany jest kąt środkowy o mierze 80^o oparty na łuku podanego okręgu.  

Kąty 𝛼 i 𝛽 są kątami wpisanymi w ten okrąg również opartymi na tym samym łuku tego okręgu. Zatem

$\alpha =\frac{1}{2}\cdot {80}^{\circ }={40}^{\circ }$

oraz 

$\beta =\frac{1}{2}\cdot {80}^{\circ }={40}^{\circ }$  

Zauważmy, że trójkąt, którego kąty mają miary 𝛽 i 𝛾 jest trójkątem równoramiennym, ponieważ jego ramiona to promienie podanego okręgu. Więc:

$\gamma =\beta ={40}^o$  

Podsumowując, otrzymaliśmy:

• $\alpha ={40}^{\circ }$
• $\beta ={40}^{\circ }$
• $\gamma ={40}^{\circ }$    

---

b)

W podręczniku przedstawiono rysunek na którym zaznaczono kąty 𝛼, 𝛽 i 𝛾. Wiemy, że AB॥CD. 

Kąty DCB i CBO są kątami naprzemianległymi, więc

$\alpha ={30}^{\circ }$  

Kąty BOD (kąt środkowy) oraz BCD (kąt wpisany) oparte są na tym samym łuku, więc 

$\left|\sphericalangle BOD\right|=2\cdot \alpha ={60}^{\circ }$

Korzystając z własności kątów przyległych wiemy, że 

$\beta ={180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$  

Niech punkt E będzie przecięciem odcinków BC i OD. 

Rozważmy trójkąt OEB. Korzystając z faktu, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180^o mamy: 

$\left|\sphericalangle BEO\right|={180}^{\circ }-\left({60}^{\circ }+{30}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{90}^{\circ }={90}^{\circ }$  

Korzystając z własności kątów przyległych wiemy, że 

$\gamma ={180}^{\circ }-{90}^{\circ }={90}^{\circ }$  

Podsumowując, otrzymaliśmy:

• $\alpha ={30}^{\circ }$
• $\beta ={120}^{\circ }$
• $\gamma ={90}^{\circ }$    

---

c)

Rysunek:

 

Kąty DAC i DBC są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku, więc

$\gamma ={40}^{\circ }$

Rozważmy trójkąt BCD. Ponieważ bok trójkąta DB jest średnicą tego okręgu, to trójkąt ten jest prostokątny. Korzystając z faktu, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180^o mamy: 

$\alpha ={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{40}^{\circ }={50}^{\circ }$  

Rozważmy trójkąt BCD. Korzystając z faktu, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180^o mamy: 

$\left|\sphericalangle BEC\right|={180}^{\circ }-{40}^{\circ }-{60}^{\circ }={80}^{\circ }$  

Korzystając z własności kątów przyległych wiemy, że 

$\beta ={180}^{\circ }-\left|\sphericalangle BEC\right|={180}^{\circ }-{80}^{\circ }={100}^{\circ }$  

Podsumowując, otrzymaliśmy:

• $\alpha ={50}^{\circ }$
• $\beta ={100}^{\circ }$
• $\gamma ={40}^{\circ }$