Dana jest prosta określona wzorem

$y=\frac{1}{2}x+3$

---

a)

Dana jest funkcja f określona wzorem:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}1& \text{dla}x\in (-\infty ,-2⟩\\ x+3& \text{dla}x\in \left(-2,\infty \right)\end{array}$   

Narysujmy podaną prostą i wykres funkcji f. Mamy: 

Otrzymaliśmy trójkąt ograniczony tymi krzywymi, którego podstawa AB ma długość 2, a wysokość ma długość 2.

Wyznaczmy pole trójkąta ABC. Mamy:

$P=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=\underline{\underline{2}}$  

---

b)

Dana jest funkcja f określona wzorem:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}-x& \text{dla}x\in (-\infty ,1⟩\\ 2x-3& \text{dla}x\in \left(1,\infty \right)\end{array}$   

Narysujmy podaną prostą i wykres funkcji f. Mamy: 

Otrzymaliśmy trójkąt ABC ograniczony danymi krzywymi. 

Zauważmy, że

$A=\left(-2,2\right),B=\left(1,-1\right),C=\left(4,5\right)$

Wyznaczmy długości boków tego trójkąta. Mamy:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(1-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(-1-2\right)}^2}=\sqrt{3^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$   

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(4-1\right)}^2+{\left(5-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(4-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(5-2\right)}^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}$  

Zatem trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym. 

Wyznaczmy współrzędne punktu S będącego środkiem odcinka AB. Mamy:

$S_{AB}=\left(\frac{-2+1}{2},\frac{2-1}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$  

Wyznaczmy długość wysokości tego trójkąta. Mamy:

$\left|C{S}_{AB}\right|=\sqrt{{\left(-\frac{1}{2}-4\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}-5\right)}^2}=\sqrt{{\left(-4\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-4\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{81}{4}+\frac{81}{4}}=\frac{9}{2}\sqrt{2}$  

Wyznaczmy pole trójkąta ABC. Mamy:

$P=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{9}{2}\sqrt{2}=\underline{\underline{\frac{27}{2}}}$