Udowodnimy, że dla dowolnej liczby naturalnej n⩾3 istnieje liczba pierwsza p taka, że

$n<p<n!$  

---

Dowód tego twierdzenia przeprowadzimy metodą nie wprost. 

Dana jest liczba naturalna n taka, że n⩾3.

Niech p będzie liczbą pierwszą taką, że 

$p\le n$  

i jest dzielnikiem liczby n!-1. 

Liczby n!-1 oraz n! są względnie pierwsze, czyli nie mają żadnych wspólnych dzielników naturalnych oprócz liczby 1. 

Liczba p nie może być dzielnikiem liczby n!. 

Każda liczba naturalna mniejsza lub równa n jest dzielnikiem liczby n!, ponieważ

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n$  

Zatem liczba p nie może być mniejsza bądź równa liczbie n. 

Otrzymujemy sprzeczność. 

---

Zatem udowodniliśmy, że dla dowolnej liczby naturalnej n⩾3 istnieje liczba pierwsza p taka, że

$n<p<n!$