Jeśli skala podobieństwa brył podobnych jest równa a:b, to stosunek pól powierzchni tych brył jest równy a2:b2, stosunek objętości tych brył jest równy a3:b3.

 

Dane są podobne ostrosłupy prawidłowe O₁, O₂, O₃ i O₄. 

Niech h₁, h₂, h₃, h₄ będą długościami wysokości tych ostrosłupów.

Niech a₁, a₂, a₃, a₄ będą długościami krawędzi podstawy tych ostrosłupów.

Uzupełniona tabela: 

Ostrosłup	Wysokość	Krawędź podstawy	Pole podstawy	Objętość
$O_1$	$8\text{cm}$	$6\text{cm}$	$36{\text{cm}}^2$	$96{\text{cm}}^3$
$O_2$	$12\text{cm}$	$9\text{cm}$	$81{\text{cm}}^2$	$324{\text{cm}}^3$
$O_3$	$16\text{cm}$	$12\text{cm}$	$144{\text{cm}}^2$	$768{\text{cm}}^3$
$O_4$	$4\text{cm}$	$3\text{cm}$	$9{\text{cm}}^2$	$12{\text{cm}}^3$

---

Wyjaśnienia:

1) Wyznaczmy skalę podobieństwa k ostrosłupów O₂ i O₁. Mamy:

$k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$  

Więc

$\frac{h_2}{h_1}=\frac{3}{2}$  

$\frac{h_2}{8}=\frac{3}{2}\mid \cdot 8$  

$h_2=8\cdot \frac{3}{2}=4\cdot 3=12$  

Oraz dla pól mamy:

$\frac{P_2}{P_1}=k^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$  

$\frac{P_2}{36}=\frac{9}{4}\mid \cdot 36$  

$P_2=36\cdot \frac{9}{4}=9\cdot 9=81$  

Dla objętości mamy:

$\frac{V_2}{V_1}=k^3$  

$\frac{V_2}{96}=\frac{27}{8}$  

$V_2=96\cdot \frac{27}{8}=12\cdot 27=324$  

---

2) Wyznaczmy skalę podobieństwa k ostrosłupów O₃ i O₁. Mamy:

$k^2=\frac{P_3}{P_1}=\frac{144}{36}=4=k^2\wedge k>0$  

$k=2$  

Więc dla długości wysokości mamy:

$\frac{h_3}{h_1}=2$  

$\frac{h_3}{8}=2\mid \cdot 8$  

$h_3=16$  

Dla długości krawędzi mamy:

$\frac{a_3}{a_1}=2$  

$\frac{a_3}{6}=2\mid \cdot 6$  

$a_3=12$  

Oraz dla objętości mamy:

$\frac{V_3}{V_1}=k^3$  

$\frac{V_3}{96}=8\mid \cdot 96$  

$V_3=768$  

---

3) Wyznaczmy skalę podobieństwa k ostrosłupów O₄ i O₁. Mamy:

$k^3=\frac{V_4}{V_1}=\frac{12}{96}=\frac{1}{8}$  

czyli

$k=\frac{1}{2}$  

Więc dla długości wysokości mamy:

$\frac{h_4}{h_1}=k$  

$\frac{h_4}{8}=\frac{1}{2}\mid \cdot 8$  

$h_4=4$  

Dla długości krawędzi mamy:

$\frac{a_4}{a_1}=k$  

$\frac{a_4}{6}=\frac{1}{2}\mid \cdot 6$  

$a_4=3$  

Oraz dla pól mamy:

$\frac{P_4}{P_1}=k^2$  

$\frac{P_4}{36}=\frac{1}{4}\mid \cdot 36$  

$P_4=9$  

---

---

a)

Wyznaczmy skalę podobieństwa k ostrosłupów O₁ i O₂. Mamy:

$k=\frac{a_1}{a_2}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$  

Skala podobieństwa ostrosłupów O₁ i O₂ wynosi 2:3. 

---

b)

Wyznaczmy skalę podobieństwa k ostrosłupów O₁ i O₃. Mamy:

$k=\frac{a_1}{a_3}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$  

Skala podobieństwa ostrosłupów O₁ i O₃ wynosi 1:2. 

---

c)

Wyznaczmy skalę podobieństwa k ostrosłupów O₂ i O₃. Mamy:

$k=\frac{a_2}{a_3}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$   

Skala podobieństwa ostrosłupów O₂ i O₃ wynosi 3:4. 

---

d)

Wyznaczmy skalę podobieństwa k ostrosłupów O₃ i O₄. Mamy:

$k=\frac{a_3}{a_4}=\frac{16}{4}=4$   

Skala podobieństwa ostrosłupów O₃ i O₄ wynosi 4:1.