Pole powierzchni kuli o promieniu r wyraża się wzorem: $P=4\pi r^2$ Objętość kuli o promieniu r wyraża się wzorem: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$

---

a)

Sześcian o krawędzi długości a przetopiono na kulę o promieniu długości r. Zatem te bryły mają równe objętości.  

Wyznaczmy objętość sześcianu. Mamy: 

$V_{sz}=a^3$  

Wyznaczmy objętość kuli. Mamy:

$V_k=\frac{4}{3}\pi r^3$

Skoro te bryły mają równe objętości, to mamy: 

$a^3=\frac{4}{3}\pi r^3$

$\frac{r^3}{a^3}=\frac{3}{4\pi }$

$\frac{r}{a}=\sqrt[3]{\frac{3}{4\pi }}$    

Wyznaczmy stosunek pola powierzchni tej kuli do pola powierzchni tego sześcianu. Mamy:

$\frac{P_k}{P_{sz}}=\frac{4\pi r^2}{6a^2}=\frac{2\pi }{3}\cdot \frac{r^2}{a^2}=\frac{2\pi }{3}\cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{3}{4\pi }}\right)}^2=\frac{2\pi }{3}\cdot \sqrt[3]{\frac{9}{16{\pi }^2}}=$  

$=\sqrt[3]{\frac{8{\pi }^3}{27}\cdot \frac{9}{16{\pi }^2}}=\underline{\underline{\sqrt[3]{\frac{\pi }{6}}}}$  

co kończy dowód.

---

b)

Przekrój osiowy walca jest kwadratem. Niech r będzie długością promienia podstawy tego walca. Wtedy wysokość walca ma długość 2r. Wyznaczmy objętość tego walca. Mamy:

$V_w=\pi \cdot r^2\cdot r=2\pi r^3$  

Dana jest kula o promieniu długości R. Wyznaczmy jej objętość. Mamy:

$V_k=\frac{4}{3}\pi R^3$  

Metalowy walec przetopiono na kulę. Zatem te dwie bryły mają równe objętości. Stąd:

$2\pi r^3=\frac{4}{3}\pi R^3\mid :\pi$  

$2r^3=\frac{4}{3}{R}^3\mid :\frac{4}{3}$

$R^3=\frac{3}{2}{r}^3$

$\underline{\underline{R=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}r}}$    

co kończy dowód.