Pole powierzchni całkowitej stożka o promieniu podstawy r i tworzącej długości l wyraża się wzorem: $P_c=P_p+P_b=\pi r^2+\pi rl=\pi r\left(r+l\right)$ gdzie Pp jest polem powierzchni podstawy stożka, a Pb jest polem powierzchni bocznej tego stożka.

---

a)

Wycinek koła o promieniu długości l=6 i kącie środkowym 120^o po zwinięciu jest powierzchnią boczną stożka. 

Wyznaczmy długość x tego łuku. Mamy:

$x=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\pi \cdot 6=\frac{1}{3}\cdot 12\pi =4\pi$

Po zwinięciu, łuk ten staje się obwodem koła o promieniu długości r, będącego podstawą tego stożka. Mamy stąd:  

$2\pi r=4\pi \mid :2\pi$

$r=2$

Wyznaczmy pole powierzchni podstawy tego stożka. Mamy:

$P_p=\pi \cdot 2^2=\underline{\underline{4\pi }}$

Wyznaczmy pole powierzchni bocznej tego stożka. Mamy:

$P_b=\pi \cdot 2\cdot 6=12\pi$

Wyznaczmy pole powierzchni całkowitej tego stożka. Mamy:

$P_c=4\pi +12\pi =\underline{\underline{16\pi }}$      

---

b)

Szkic pomocniczy:

Dany jest stożek, którego tworząca ma długość l i promień podstawy ma długość 4 cm. 

Wyznaczmy długość x tego koła. Mamy:

$x=2\pi \cdot 4=8\pi \left[\text{cm}\right]$

 Powierzchnia boczna tego stożka po rozwinięciu jest wycinkiem koła wyznaczonego przez kąt środkowy 150^o. Mamy zatem:

$8\pi =\frac{{150}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\pi l$

$8\pi =\frac{5}{6}\pi l\mid :\frac{5}{6}\pi$

$l=\frac{48}{5}\left[\text{cm}\right]$

Wyznaczmy pole powierzchni całkowitej tego stożka. Mamy:

$P_c=\pi \cdot 4\cdot \left(4+\frac{48}{5}\right)=4\pi \cdot \frac{68}{5}=\underline{\underline{\frac{272\pi }{5}\left[{\text{cm}}^2\right]}}$     

---

UWAGA!!! Odpowiedź z tyłu książki do podpunktu b) jest błędna.