Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\frac{3x}{{\left(1-2x\right)}^2}$

$1-2x\ne 0$

$2x\ne 1$

$x\ne \frac{1}{2}$    

Należy wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji f, która jest prostopadła do prostej przechodzącej przez punkty A(9, 0) oraz B(0, -1).

---

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:

$a_{AB}=\frac{-1-0}{0-9}=\frac{1}{9}$

Skoro prosta styczna do wykresu funkcji f jest prostopadła do prostej AB, to jej współczynnik kierunkowy ma wartość:

$a=-9$

Wobec tego:

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=-9$  

---

Wyznaczamy pochodna funkcji f:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{3{\left(1-2x\right)}^2-3x\cdot 2\left(1-2x\right)\cdot \left(-2\right)}{{\left(1-2x\right)}^4}=$

$=\frac{3\left(1-4x+4x^2\right)+12x-24x^2}{{\left(1-2x\right)}^4}=$   

$=\frac{3-12x+12x^2+12x-24x^2}{{\left(1-2x\right)}^4}=$

$=\frac{-12x^2+3}{{\left(1-2x\right)}^4}=\frac{-3\left(4x^2-1\right)}{{\left(-\left(2x-1\right)\right)}^4}=$   

$=\frac{-3\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{{\left(2x-1\right)}^4}=\frac{-3\left(2x+1\right)}{{\left(2x-1\right)}^3},x\ne \frac{1}{2}$  

---

Zapisujemy, że:

$\frac{-3\left(2x_0+1\right)}{{\left(2x_0-1\right)}^3}=-9$

$-6x_0-3=-9{\left(2x_0-1\right)}^3$   

$-6x_0-3=-9\left(8x_0^3-12x_0^2+6x_0-1\right)\mid :\left(-3\right)$

$2x_0+1=24x_0^3-36x_0^2+18x_0-3$

$24x_0^3-36x_0^2+16x_0-4=0\mid :4$    

$6x_0^3-9x_0^2+4x_0-1=0$  

Zauważmy, że dla x₀=1 dostajemy: 

$6\cdot 1-9\cdot 1+4\cdot 1-1=0$

Podzielmy wielomian np. przy pomocy schematu Hornera.

	$6$	$-9$	$4$	$-1$
$1$	$6$	$-3$	$1$	$0$

Wobec tego:

$6x_0^3-9x_0^2+4x_0-1=\left(x_0-1\right)\left(6x_0^2-3x_0+1\right)$  

czyli:

$\left(x_0-1\right)\left(6x_0^2-3x_0+1\right)=0$

$6x_0^2-3x_0+1=0\text{lub}{x}_0=1$   

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 6\cdot 1=9-24=-15<0$

Wnioskujemy, że:

$x_0=1$

---

Wyznaczamy wartość funkcji f dla x₀=1:

$f\left(x_0\right)=f\left(1\right)=\frac{3\cdot 1}{{\left(1-2\cdot 1\right)}^2}=\frac{3}{1}=3$

---

Zapisujemy równanie stycznej:

$y=-9\left(x-1\right)+3=-9x+9+3=\underline{\underline{-9x+12}}$