a)
Dana jest funkcja:
f(x)=x3−3x2−24x+1
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
f′(x)=3x2−6x−24
Wyznaczamy punkty krytyczne:
f′(x)=0 gdy 3x2−6x−24=0
3x2−6x−24=0 ∣:3
x2−2x−8=0
Δ=(−2)2−4⋅1⋅(−8)=4+32=36, Δ=6
x=22−6=−24=−2 lub x=22+6=28=4
Wobec tego:
f′(x)>0 gdy x∈(−∞, −2)∪(4,+∞)
f′(x)<0 gdy x∈(−2,4)
Wobec tego funkcja f jest rosnąca w przedziałach:
(−∞, −2⟩ oraz ⟨4,+∞)
natomiast malejąca w przedziale:
⟨−2,4⟩
b)
Dana jest funkcja:
f(x)=−3x5−5x3+30x−1
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
f′(x)=−15x4−15x2+30
Wyznaczamy punkty krytyczne:
f′(x)=0 gdy −15x4−15x2+30=0
−15x4−15x2+30=0 ∣:15
−x4−x2+2=0
Zastosujemy podstawienie:
t=x2
−t2−t+2=0
Δ=(−1)2−4⋅(−1)⋅2=1+8=9, Δ=3
t=−21−3=1 lub t=−21+3=−2<0
Wobec tego:
x2=1
x=1 lub x=−1
Wobec tego:
f′(x)>0 gdy x∈(−1,1)
f′(x)<0 gdy x∈(−∞,1)∪(1,+∞)
Wobec tego funkcja f jest rosnąca w przedziale:
⟨−1,1⟩
natomiast malejąca w przedziałach:
(−∞,−1⟩ oraz ⟨1,+∞)
c)
Dana jest funkcja:
f(x)=x+x9, x=0
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
f′(x)=1−x29, x=0
Wyznaczamy punkty krytyczne:
f′(x)=0 gdy 1−x29=0
1−x29=0 ∣⋅x2
x2−9=0
(x−3)(x+3)=0
x=3 lub x=−3
Wobec tego:
f′(x)>0 gdy x∈(−∞, −3)∪(3,+∞)
f′(x)<0 gdy x∈(−3,0)∪(0,3)
Wobec tego funkcja f jest rosnąca w przedziałach:
(−∞, −3⟩ oraz ⟨3,+∞)
natomiast malejąca w przedziale:
⟨−3,0) oraz (0,3⟩
d)
Dana jest funkcja:
f(x)=(4x2−9)4
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
f′(x)=4(4x2−9)3⋅8x=32x(4x2−9)3
Wyznaczamy punkty krytyczne:
f′(x)=0 gdy 32x(4x2−9)3=0
32x(4x2−9)3=0
32x(2x−3)(2x+3)=0
x=0 lub x=23 lub x=−23
Wobec tego:
f′(x)>0 gdy x∈(−23, 0)∪(23,+∞)
f′(x)<0 gdy x∈(−∞,−23)∪(0,23)
Wobec tego funkcja f jest rosnąca w przedziałach:
⟨−23, 0⟩ oraz ⟨23,+∞)
natomiast malejąca w przedziałach:
(−∞,−23⟩ oraz ⟨0,23⟩
e)
Dana jest funkcja:
f(x)=(x−1)2x4, x=1
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
f′(x)=(x−1)44x3(x−1)2−x4⋅2(x−1)=
=(x−1)44x3(x2−2x+1)−2x5+2x4=
=(x−1)44x5−8x4+4x3−2x5+2x4=
=(x−1)42x5−6x4+4x3, x=1
Wyznaczamy punkty krytyczne:
f′(x)=0 gdy (x−1)42x5−6x4+4x3=0
(x−1)42x5−6x4+4x3=0
2x5−6x4+4x3=0 ∣:2
x5−3x4+2x3=0
x3(x2−3x+2)=0
x=0 lub x2−3x+2=0
Δ=(−3)2−4⋅1⋅2=9−8=1, Δ=1
x=23−1=1 lub x=23+1=2
Wobec tego:
f′(x)>0 gdy x∈(0, 1)∪(2,+∞)
f′(x)<0 gdy x∈(−∞,0)∪(1,2)
Wobec tego funkcja f jest rosnąca w przedziałach:
⟨0, 1) oraz ⟨2,+∞)
natomiast malejąca w przedziałach:
(−∞,0⟩ oraz (1,2⟩
f)
Dana jest funkcja:
f(x)=x+3x2+5x+5, x=−3
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
f′(x)=(x+3)2(2x+5)(x+3)−(x2+5x+5)⋅1=
=(x+3)22x2+6x+5x+15−x2−5x−5=
=(x+3)2x2+6x+10, x=−3
Wyznaczamy punkty krytyczne:
f′(x)=0 gdy (x+3)2x2+6x+10=0
(x+3)2x2+6x+10=0 ∣:3
x2+6x+10=0
Δ=62−4⋅1⋅10=36−40=−4<0
Wobec tego:
f′(x)>0 gdy x∈R \ {−3}
Wobec tego funkcja f jest rosnąca w przedziałach:
(−∞, −3) oraz (−3,+∞)
g)
Dana jest funkcja:
f(x)=x+2(x−1)(x2−1)=x+2x3−x2−x+1, x=−2
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
f′(x)=(x+2)2(3x2−2x−1)(x+2)−(x3−x2−x+1)⋅1=
=(x+2)23x3+6x2−2x2−4x−x−2−x3+x2+x−1=
=(x+2)22x3+5x2−4x−3, x=−2
Wyznaczamy punkty krytyczne:
f′(x)=0 gdy (x+2)22x3+5x2−4x−3=0
2x3+5x2−4x−3=0
Zauważmy, że dla x-1:
2⋅13+5⋅12−4⋅1−3=2+5−4−3=0
Możemy podzielić wielomian np. schematem Hornera:
Zatem dostajemy:
2x3+5x2−4x−3=(x−1)(2x2+7x+3)
Wobec tego rozwiązujemy równanie:
(x−1)(2x2+7x+3)=0
x=1 lub 2x2+7x+3=0
Δ=72−4⋅2⋅3=49−24=25, Δ=5
x=4−7−5=−3 lub x=4−7+5=−21
Wobec tego:
f′(x)>0 gdy x∈(−3, −2)∪(−2,−21)∪(1,+∞)
f′(x)<0 gdy x∈(−∞,−3)∪(−21,1)
Wobec tego funkcja f jest rosnąca w przedziałach:
⟨−3,−2), (−2,−21⟩ oraz ⟨1,+∞)
natomiast malejąca w przedziale:
(−∞,−3⟩ oraz ⟨−21,1)
h)
Dana jest funkcja:
f(x)=x3−4x2+4x
x3−4x2+4x≥0
x(x2−4x+4)≥0
x=0 lub (x−2)2=0
x=2
x∈⟨0, +∞)
Wyznaczamy pochodną funkcji f:
f′(x)=21(x3−4x2+4x)−21⋅(3x2−8x+4)=
=2x3−4x2+4x3x2−8x+4, x∈(0,2)∪(2,∞)
Wyznaczamy punkty krytyczne:
f′(x)=0 gdy 2x3−4x2+4x3x2−8x+4=0
3x2−8x+4=0
Δ=(−8)2−4⋅3⋅4=64−48=16, Δ=4
x=68−4=32 lub x=68+4=2
Wobec tego:
f′(x)>0 gdy x∈(0, 32)∪(2,+∞)
f′(x)<0 gdy x∈(32,2)
Wobec tego funkcja f jest rosnąca w przedziałach:
⟨0, 32⟩ oraz (2,+∞)
natomiast malejąca w przedziale:
⟨32,2⟩
