Pamiętamy, że liczby podzielne przez 3, to liczby, których suma cyfr jest podzielna przez 3.

Z treści zadania wiemy, że do zapisu cyfr używamy wyłącznie cyfry 0 i cyfry 1.

---

a)

Należy obliczyć, ile jest liczb czterocyfrowych spełniających warunki zadania.

Aby liczba czterocyfrowa była podzielna przez 3, to w jej zapisie muszą występować trzy jedynki i jedno zero.

Więc szukane liczby składają się z cyfr: 1, 1, 1, 0.

Cyfrą tysięcy musi być cyfra 1 (zero nie może być cyfrą tysięcy), zatem na pierwszym miejscu ustawiamy cyfrę na jeden sposób, następnie z trzech pozostałych miejsc w liczbie wybieramy dwa na których ustawiamy dwie pozostałe jedynki, a na wolne miejsce wstawiamy 0 na jeden sposób.

Wobec tego wszystkich liczb spełniających warunki zadania mamy łącznie:

$1\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot 1=1\cdot 3\cdot 1=\underline{\underline{3}}$  

---

b)

Należy obliczyć, ile jest liczb pięciocyfrowych spełniających warunki zadania.

Aby liczba pięciocyfrowa była podzielna przez 3, to w jej zapisie muszą występować trzy jedynki i dwa zera.

Więc szukane liczby składają się z cyfr: 1, 1, 1, 0, 0.

Cyfrą dziesiątek tysięcy musi być cyfra 1 (zero nie może być cyfrą tysięcy), zatem na pierwszym miejscu ustawiamy cyfrę na jeden sposób, następnie z czterech pozostałych miejsc w liczbie wybieramy dwa na których ustawiamy dwie pozostałe jedynki, a na wolne miejsce wstawiamy zera na jeden sposób.

Wobec tego wszystkich liczb spełniających warunki zadania mamy łącznie:

$1\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\cdot 1=1\cdot \frac{4!}{2!\cdot 2!}\cdot 1=\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}=\frac{12}{2}=\underline{\underline{6}}$  

---

c)

Należy obliczyć, ile jest liczb ośmiocyfrowych spełniających warunki zadania.

Aby liczba ośmiocyfrowa była podzielna przez 3, to w jej zapisie muszą występować:

• trzy jedynki i pięć zer (1, 1, 1, 0 , 0 , 0 , 0 , 0)
• sześć jedynek i dwa zera (1, 1, 1, 1, 1, 1, 0 , 0)

Rozważamy pierwszy przypadek.

Wiemy, że na pierwszym miejscu w liczbie nie może stać cyfra 0, więc wstawiamy na pierwszym miejscu cyfrę 1 na jeden sposób. Następnie z 7 pozostałych miejsc wybieramy 2 na których postawimy pozostałe dwie jedynki, a na wolnych pięciu miejscach wstawiamy zera na 1 sposób.

Czyli takich liczb mamy łącznie:

$1\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right)\cdot 1=\frac{7!}{2!\cdot 5!}=\frac{7\cdot 6}{2}=\frac{42}{2}=21$  

Rozważamy drugi przypadek.

Wiemy, że na pierwszym miejscu w liczbie nie może stać cyfra 0, więc wstawiamy na pierwszym miejscu cyfrę 1 na jeden sposób. Następnie z 7 pozostałych miejsc wybieramy 5 na których postawimy pozostałe pięć jedynek, a na wolnych dwóch miejscach wstawiamy zera na 1 sposób.

Podsumowując, wszystkich takich liczb mamy łącznie:

$1\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)\cdot 1=\frac{7!}{5!\cdot 2!}=\frac{7\cdot 6}{2}=\frac{42}{2}=21$  

Wobec tego wszystkich liczb spełniających warunki zadania mamy łącznie:

$21+21=\underline{\underline{42}}$