Rysunek: 

---

a)

O podanym trójkącie wiemy, że

• $a=4\sqrt{3}$
• $b=4$
• $\alpha ={60}^{\circ }$    

czyli podany trójkąt jest trójkątem prostokątnym o kątach miary 30^o, 60^o, 90^o. Więc

• $\beta ={30}^{\circ }$
• $\gamma ={90}^{\circ }$   

---

b)

O podanym trójkącie wiemy, że

• $b=8$
• $c=4\sqrt{2}$
• $\beta ={45}^{\circ }$    

Korzystając z twierdzenia sinusów mamy: 

$\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$  

$\frac{8}{\sin {45}^{\circ }}=\frac{4\sqrt{2}}{\sin \gamma }$  

$\sin \gamma =\frac{4\sqrt{2}\cdot \sin {45}^{\circ }}{8}$  

$\sin \gamma =\frac{4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{8}$  

$\sin \gamma =\frac{1}{2}$  

$\underline{\underline{\gamma ={30}^{\circ }}}$  

czyli również mamy:

$\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$  

$\alpha +{45}^{\circ }+{30}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\underline{\underline{\alpha ={105}^{\circ }}}$  

---

c)

O podanym trójkącie wiemy, że

• $a=3\sqrt{3}$
• $b=9$
• $\alpha ={30}^{\circ }$    

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$  

Korzystając z twierdzenia sinusów mamy: 

$\frac{3\sqrt{3}}{\sin {30}^{\circ }}=\frac{9}{\sin \beta }$  

$\sin \beta =\frac{9\cdot \sin {30}^{\circ }}{3\sqrt{3}}$  

$\sin \beta =\frac{9\cdot \frac{1}{2}}{3\sqrt{3}}$  

$\sin \beta =\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$    

$\sin \beta =\frac{\sqrt{3}}{2}$  

czyli

$\beta ={60}^{\circ }\vee \beta ={120}^{\circ }$  

Przypadek I.

$\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$  

${30}^{\circ }+{60}^{\circ }+\gamma ={180}^{\circ }$  

$\underline{\underline{\gamma ={90}^{\circ }}}$  

Przypadek II.

$\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$  

${30}^{\circ }+{120}^{\circ }+\gamma ={180}^{\circ }$  

$\underline{\underline{\gamma ={30}^{\circ }}}$  

Odp. Pozostałe kąty tego trójkąta mają miary

$\beta ={60}^{\circ },\gamma ={90}^{\circ }\text{lub}\beta ={120}^{\circ },\gamma ={30}^{\circ }$  

---

d)

O podanym trójkącie wiemy, że

• $b=2\sqrt{2}$
• $c=4$
• $\beta ={30}^{\circ }$    

Korzystając z twierdzenia sinusów mamy: 

$\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$  

$\frac{2\sqrt{2}}{\sin {30}^{\circ }}=\frac{4}{\sin \gamma }$  

$\sin \gamma =\frac{4\cdot \sin {30}^{\circ }}{2\sqrt{2}}$  

$\sin \gamma =\frac{4\cdot \frac{1}{2}}{2\sqrt{2}}$  

$\sin \gamma =\frac{1}{\sqrt{2}}$  

$\sin \gamma =\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\gamma ={45}^{\circ }\vee \gamma ={135}^{\circ }$  

Przypadek I.

$\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$  

$\alpha +{30}^{\circ }+{45}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\alpha ={105}^{\circ }$  

Przypadek II.

$\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$  

$\alpha +{30}^{\circ }+{135}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\alpha ={15}^{\circ }$  

Odp. Pozostałe kąty tego trójkąta mają miary

$\alpha ={105}^{\circ },\gamma ={45}^{\circ }\text{lub}\alpha ={15}^{\circ },\gamma ={135}^{\circ }$