a)

Dany jest sześciokąt foremny o boku długości 1. 

Na podanym sześciokącie opisano koło o promieniu długości R. Promień ten ma długość równą długości boku tego sześciokąta, czyli R=1. 

Obliczmy pole tego koła. Mamy:

$P_{\text{O}}=\pi \cdot 1^2=\pi$  

W podany sześciokąt wpisano koło o promieniu długości r. Promień ten ma długość równą długości wysokości trójkąta równobocznego o boku długości 1. Mamy więc:

$r=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

Obliczmy pole tego koła. Mamy:

$P_{\text{W}}=\pi \cdot {\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}\pi$  

Wyznaczmy różnicę otrzymanych pól. Mamy:

$\pi -\frac{3}{4}\pi =\frac{\pi }{4}$  

---

b)

Dany jest pewien wielokąt foremny o boku długości a. 

Na podanym wielokącie opisano koło o promieniu długości R. 

W podany wielokąt wpisano koło o promieniu długości r.

Narysujmy fragment tego wielokąta. Mamy: 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

${\left(\frac{a}{2}\right)}^2+r^2=R^2$

czyli

$R^2-r^2=\frac{1}{4}{a}^2$   

Wyznaczmy różnicę pola koła opisanego na tym wielokącie i polem koła wpisanego w ten wielokąt. Mamy:

$\pi R^2-\pi r^2=\pi \left(R^2-r^2\right)=\pi \cdot \frac{1}{4}{a}^2=\underline{\underline{\frac{\pi }{4}{a}^2}}$