a)

Dany jest trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 6 cm. 

W podany trójkąt wpisano okrąg, którego promień ma długość 2 cm. 

Rysunek: 

Wyjaśnienie:

Korzystając z twierdzenia o odcinkach stycznych mamy:

• $\left|AD\right|=\left|AF\right|=2$
• $\left|BD\right|=\left|BE\right|=4$
• $\left|CE\right|=\left|CF\right|=x$    

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy: 

$6^2+{\left(2+x\right)}^2={\left(4+x\right)}^2$  

$36+4+4x+x^2=16+8x+x^2$  

$24=4x\mid :4$  

$x=6\left[\text{cm}\right]$  

więc

$\left|AC\right|=6\left[\text{cm}\right]$  

$\left|AB\right|=2+6=8\left[\text{cm}\right]$  

Wyznaczmy pole tego trójkąta. Mamy: 

$P=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=\underline{\underline{24\left[{\text{cm}}^2\right]}}$  

---

b)

Dany jest trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 6 cm. 

Na podanym trójkącie opisano okrąg, którego promień ma długość 4 cm. 

Niech c będzie długością przeciwprostokątnej tego trójkąta. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym dzieli przeciwprostokątną na dwie równe części, więc

$c=2\cdot 4=8\left[\text{cm}\right]$  

Niech b będzie długością drugiej przyprostokątnej tego trójkąta. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy: 

$6^2+b^2=8^2$  

$36+b^2=64$  

$b^2=28\wedge b>0$  

$b=2\sqrt{7}\left[\text{cm}\right]$  

Wyznaczmy pole tego trójkąta. Mamy: 

$P=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2\sqrt{7}=\underline{\underline{6\sqrt{7}\left[{\text{cm}}^2\right]}}$