Dany jest ciąg geometryczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁=10 oraz ilorazie q=2.  

---

a)

Obliczmy, ile co najmniej początkowych wyrazów tego ciągu należy zsumować, aby otrzymać liczbę większą od 600. Otrzymujemy stąd nierówność:

$S_n>600$  

czyli

$a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}>600$

$10\cdot \frac{1-2^n}{1-2}>600$  

$10\cdot \frac{1-2^n}{-1}>600$

$-10\left(1-2^n\right)>600\mid :10$  

$2^n-1>60$  

$2^n>61$  

Zauważmy, że

$2^6>61>2^5$  

Odp. Należy zsumować co najmniej 6 początkowych wyrazów tego ciągu. 

---

b)

Obliczmy, ile co najmniej początkowych wyrazów tego ciągu należy zsumować, aby otrzymać liczbę większą od 1500. Otrzymujemy stąd nierówność:

$S_n>1500$  

czyli

$a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}>1500$  

$10\cdot \frac{1-2^n}{1-2}>1500$  

$-10\left(1-2^n\right)>1500\mid :10$  

$2^n-1>150$  

$2^n>151$  

Zauważmy, że

$2^8>151>2^7$  

Odp. Należy zsumować co najmniej 8 początkowych wyrazów tego ciągu.