Oblicz różnicę ciągu arytmetycznego (an) spełniającego podane...- Zadanie 11: MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz różnicy r.

Ciąg ten spełnia warunki:

${a_{1} + a_{2} = - 6 a_{2} + a_{4} = 0$

Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego, czyli $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ ,dostajemy:

${a_{1} + a_{1} + r = - 6 a_{1} + r + a_{1} + 3 r = 0$

${2 a_{1} + r = - 6 ∣ \cdot (- 1) 2 a_{1} + 4 r = 0$

${- 2 a_{1} - r = 6 2 a_{1} + 4 r = 0$

Dodając stronami równania układu mamy:

$- r + 4 r = 6$

$3 r = 6 ∣ : 3$

$\underline{\underline{r = 2}}$

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz różnicy r.

Ciąg ten spełnia warunki:

${a_{1} + a_{3} = 2 a_{2} \cdot a_{4} = 2$

Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego dostajemy:

${a_{1} + a_{1} + 2 r = 2 (a_{1} + r) \cdot (a_{1} + 3 r) = 2$

${2 a_{1} + 2 r = 2 ∣ : 2 a_{1}^{2} + 3 a_{1} r + a_{1} r + 3 r^{2} = 2$

${a_{1} + r = 1 a_{1}^{2} + 4 a_{1} r + 3 r^{2} = 2$

${a_{1} = 1 - r (1 - r)^{2} + 4 (1 - r) r + 3 r^{2} = 2$

${a_{1} = 1 - r 1 - 2 r + r^{2} + 4 r - 4 r^{2} + 3 r^{2} = 2$

${a_{1} = 1 - r 2 r = 1 ∣ : 2$

${a_{1} = 1 - \frac{1}{2} r = \frac{1}{2}$

${a_{1} = \frac{1}{2} r = \frac{1}{2}$

czyli

$\underline{\underline{r = \frac{1}{2}}}$

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), n∈N₊, o pierwszym wyrazie a₁ oraz różnicy r.

Ciąg ten spełnia warunki:

${a_{3} \cdot a_{5} = - 8 a_{3} + a_{7} = - 2$

Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego dostajemy:

${(a_{1} + 2 r) \cdot (a_{1} + 4 r) = - 8 a_{1} + 2 r + a_{1} + 6 r = - 2$

${a_{1}^{2} + 4 a_{1} r + 2 a_{1} r + 8 r^{2} = - 8 2 a_{1} + 8 r = - 2 ∣ : 2$

${a_{1}^{2} + 6 a_{1} r + 8 r^{2} = - 8 a_{1} + 4 r = - 1$

${a_{1}^{2} + 6 a_{1} r + 8 r^{2} = - 8 a_{1} = - 1 - 4 r$

${(- 1 - 4 r)^{2} + 6 (- 1 - 4 r) r + 8 r^{2} = - 8 a_{1} = - 1 - 4 r$

${1 + 8 r + 16 r^{2} - 6 r - 24 r^{2} + 8 r^{2} = - 8 a_{1} = - 1 - 4 r$

${2 r = - 9 ∣ : 2 a_{1} = - 1 - 4 r$

${r = - 4, 5 a_{1} = - 1 - 4 \cdot (- 4, 5)$

${r = - 4, 5 a_{1} = 17$

czyli

$\underline{\underline{r = - 4 \frac{1}{2}}}$

Szymon Zakrzyk

Nauczyciel matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Związek między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego

Premium

11:40

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Premium

12:20

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Definicja ciągu arytmetycznego

12:29

Zobacz lekcję

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.