O wielomianie w wiemy, że po podzieleniu przez dwumian x-4 otrzymano iloraz x²-3x+1 i resztę 2. 

Wyznaczmy wzór wielomianu w. Mamy: 

$w\left(x\right)=\left(x-4\right)\cdot \left(x^2-3x+1\right)+2$      

$w\left(x\right)=x^3-3x^2+x-4x^2+12x-4+2$  

$\underline{w\left(x\right)=x^3-7x^2+13x-2}$      

Rozwiążemy równanie:

$w\left(x\right)=6-x$

czyli

$x^3-7x^2+13x-2=6-x$  

$x^3-7x^2+14x-8=0$  

Wyraz wolny a₀=-8 ma następujące dzielniki: -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8. 

Stwierdzamy, że liczba 1 jest pierwiastkiem całkowitym tego równania, ponieważ

$1^3-7\cdot 1^2+14\cdot 1-8=1-7+14-8=0$  

Zatem wielomian po lewej stronie tego równania jest podzielny przez dwumian x-1. Mamy:

Czyli dane równanie możemy zapisać w postaci:

$\left(x-1\right)\left(x^2-6x+8\right)=0$

$x=1\vee \underset{\Delta =4,x_1=2,x_2=4}{\underbrace{x^2-6x+8}}=0$  

czyli

$\underline{\underline{x\in \left\{1,2,4\right\}}}$