a)

Dana jest funkcja f określona wzorem:

$f\left(x\right)=x^2+2x+m$  

Wyznaczmy wyróżnik Δ tej funkcji. Mamy: 

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot m=4-4m$       

Określimy liczbę miejsc zerowych funkcji f. 

• Jedno miejsce zerowe

Funkcja kwadratowa f ma jedno miejsce zerowe wtedy, gdy

$\Delta =0$

czyli 

$4-4m=0$  

$4m=4\mid :4$  

$\underline{\underline{m=1}}$        

• Dwa miejsca zerowe

Funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe wtedy, gdy

$\Delta >0$  

czyli

$4-4m>0$  

$-4m>-4\mid :\left(-4\right)$  

$m<1$  

$\underline{\underline{m\in \left(-\infty ,1\right)}}$  

• Brak miejsc zerowych

Funkcja kwadratowa f nie ma żadnych miejsc zerowych wtedy, gdy

$\Delta <0$  

czyli

$4-4m<0$  

$-4m<-4\mid :\left(-4\right)$  

$m>1$  

$\underline{\underline{m\in \left(1,+\infty \right)}}$  

 

Podsumowując, mamy:

Funkcja f nie ma miejsc zerowych dla m∈(1, ∞). 

Funkcja f ma jedno miejsce zerowe dla m=1. 

Funkcja f ma dwa miejsca zerowe dla m∈(-∞, 1). 

---

b)

Dana jest funkcja f określona wzorem:

$f\left(x\right)=\left(m-1\right)x^2+2mx+3m-2$  

1) Rozważmy funkcję f dla której m-1=0, czyli m=1. Mamy wtedy:

$f\left(x\right)=0\cdot x^2+2\cdot 1\cdot x+3\cdot 1-2=\underline{2x+1}$  

Taka funkcja f ma jedno miejsce zerowe. 

2) Rozważmy funkcję f dla której m-1≠0, czyli m≠1. 

Wyznaczmy wyróżnik Δ tej funkcji. Mamy:

$\Delta ={\left(2m\right)}^2-4\cdot \left(m-1\right)\cdot \left(3m-2\right)=4m^2-4\left(3m^2-2m-3m+2\right)$  

$=4m^2-12m^2+8m+12m-8=\underline{-8m^2+20m-8}$  

• Jedno miejsce zerowe

Funkcja kwadratowa f ma jedno miejsce zerowe wtedy, gdy

$\Delta =0$  

czyli

$-8m^2+20m-8=0\mid :\left(-4\right)$  

$2m^2-5m+2=0$  

${\Delta }_m={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$  

$\sqrt{{\Delta }_m}=3$  

$m_1=\frac{5-3}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$  

$m_2=\frac{5+3}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2$  

Dla m=¹/₂ oraz dla m=2 podana funkcja ma jedno miejsce zerowe. 

• Dwa miejsca zerowe

Funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe wtedy, gdy

$\Delta >0$

czyli 

$-8m^2+20m-8>0\mid :\left(-4\right)$  

$2m^2-5m+2<0$  

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej po lewej stronie nierówności są liczby ¹/₂ oraz 2, czyli

$m\in \left(\frac{1}{2},2\right)$  

Uwzględniając to, że m≠1 mamy:

$\underline{m\in \left(\frac{1}{2},1\right)\cup \left(1,2\right)}$  

• Brak miejsc zerowych

Funkcja kwadratowa f nie ma żadnych miejsc zerowych wtedy, gdy

$\Delta <0$

czyli 

$-8m^2+20m-8<0\mid :\left(-4\right)$  

$2m^2-5m+2>0$  

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej po lewej stronie nierówności są liczby ¹/₂ oraz 2, czyli

$\underline{m\in \left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)\cup \left(2,\infty \right)}$  

 

Podsumowując, mamy:

Funkcja f nie ma miejsc zerowych dla m∈(-∞, ¹/₂)∪(1, ∞). 

Funkcja f ma jedno miejsce zerowe dla m∈{¹/₂, 1, 2}. 

Funkcja f ma dwa miejsca zerowe dla m∈(¹/₂, 1)∪(1, 2).