a)

Zakładamy, że liczby x, y są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Przekształcamy nierówność równoważnie i mamy: 

${\left(x-y\right)}^2+2x^2+8\ge 4x\left(2-y\right)$  

$x^2-2xy+y^2+2x^2+8\ge 8x-4xy$

$x^2+2xy+y^2+2x^2-8x+8\ge 0$   

$x^2+2xy+y^2+2\left(x^2-4x+4\right)\ge 0$  

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy oraz na kwadrat różnicy mamy:

${\left(x+y\right)}^2+2{\left(x-2\right)}^2\ge 0$  

Ostatnia nierówność zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y, zatem również nierówność

${\left(x-y\right)}^2+2x^2+8\ge 4x\left(2-y\right)$  

zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y. 

---

b)

Zakładamy, że liczby x, y są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Przekształcamy nierówność równoważnie i mamy:

$\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1>\left(1-y\right)\left(x+y+1\right)$  

$x^2+3x+2x+6+1>x+y+1-xy-y^2-y$

$x^2+xy+y^2+4x+6>0$   

$\frac{1}{4}{x}^2+xy+y^2+\frac{3}{4}{x}^2+4x+\frac{16}{3}+\frac{2}{3}>0$  

$\frac{1}{4}{x}^2+xy+y^2+\frac{3}{4}\left(x^2+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}\right)+\frac{2}{3}>0$  

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy mamy:

${\left(\frac{1}{2}x+y\right)}^2+\frac{3}{4}{\left(x+\frac{8}{3}\right)}^2+\frac{2}{3}>0$  

Ostatnia nierówność zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y, zatem również nierówność

$\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1>\left(1-y\right)\left(x+y+1\right)$  

zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y.