a)

Liczby a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że ab>0. 

Przekształcamy nierówność równoważnie i mamy:  

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\mid \cdot ab,ab>0$      

$a^2+b^2\ge 2ab$  

$a^2-2ab+b^2\ge 0$  

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy: 

${\left(a-b\right)}^2\ge 0$  

Ostatnia nierówność zachodzi dla dowolnych a, b∈R, zatem również nierówność

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$  

zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b takich że ab>0.

---

b)

Liczby a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że ab<0. 

Przekształcamy nierówność równoważnie i mamy:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le -2\mid \cdot ab,ab<0$  

$a^2+b^2\ge -2ab$  

$a^2+2ab+b^2\ge 0$  

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy mamy: 

${\left(a+b\right)}^2\ge 0$  

Ostatnia nierówność zachodzi dla dowolnych a, b∈R, zatem również nierówność

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le -2$  

zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b takich że ab<0.